Nilai limit x -> pi/6 (sin x+sin 2x)/sin 2x adalah . . . .

Nilai limitnya adalah $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persoalan limit ini, kita akan menggunakan substitusi langsung dan identitas trigonometri jika diperlukan.

Soal: Nilai limit $x \rightarrow \frac{\pi}{6} \frac{\sin x + \sin 2x}{\sin 2x}$

Kita substitusikan nilai $x = \frac{\pi}{6}$ ke dalam fungsi:

*   $\sin x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
*   $\sin 2x = \sin (2 \times \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi limit:

Limit $= \frac{\sin \frac{\pi}{6} + \sin (2 \times \frac{\pi}{6})}{\sin (2 \times \frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Limit $= \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Kita bisa menyederhanakan dengan mengalikan pembilang dengan kebalikan dari penyebut:

Limit $= \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$:

Limit $= \frac{(1 + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3}$

Jadi, nilai limit $x \rightarrow \frac{\pi}{6} \frac{\sin x + \sin 2x}{\sin 2x}$ adalah $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ atau $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.