Nilai maksimum dari 2x+3y pada himpunan penyelesaian sistem

Nilai maksimumnya adalah 16.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai maksimum dari fungsi tujuan 2x + 3y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah penyelesaian tersebut dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi tujuan.

Sistem pertidaksamaan:
1. x ≥ 0
2. y ≥ 0
3. x + 2y ≤ 8
4. x + 3y ≤ 9

Langkah 1: Cari titik potong dari garis-garis batas.

*   Titik potong sumbu-x dan sumbu-y untuk x + 2y = 8:
    Jika x = 0, maka 2y = 8 => y = 4. Titik (0, 4).
    Jika y = 0, maka x = 8. Titik (8, 0).

*   Titik potong sumbu-x dan sumbu-y untuk x + 3y = 9:
    Jika x = 0, maka 3y = 9 => y = 3. Titik (0, 3).
    Jika y = 0, maka x = 9. Titik (9, 0).

*   Titik potong antara x + 2y = 8 dan x + 3y = 9:
    Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
    (x + 3y) - (x + 2y) = 9 - 8
    y = 1
    Substitusikan y = 1 ke salah satu persamaan, misal x + 2y = 8:
    x + 2(1) = 8
    x + 2 = 8
    x = 6
    Titik potongnya adalah (6, 1).

Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut yang memenuhi semua pertidaksamaan.

*   Titik (0, 0) - memenuhi semua.
*   Titik (8, 0) - memenuhi x+2y <= 8 (8<=8), tapi tidak memenuhi x+3y<=9 (9<=9, tapi jika x=8, 8+3*0=8<=9). Titik (8,0) adalah titik potong sumbu x dari x+2y=8. Untuk x+3y<=9, jika x=8, maka 8+3y<=9 => 3y<=1 => y<=1/3. Jadi titik (8,0) valid.
*   Titik (0, 3) - memenuhi x+2y<=8 (2*3=6<=8), dan memenuhi x+3y<=9 (9<=9). Titik (0,3) adalah titik potong sumbu y dari x+3y=9.
*   Titik (6, 1) - memenuhi x+2y<=8 (6+2*1=8<=8), dan memenuhi x+3y<=9 (6+3*1=9<=9). Titik (6,1) adalah titik potong kedua garis.
*   Titik (0,4) - memenuhi x+2y<=8 (8<=8), tapi tidak memenuhi x+3y<=9 (3*4=12>9). Jadi titik (0,4) tidak valid.
*   Titik (9,0) - tidak memenuhi x+2y<=8 (9>8). Jadi titik (9,0) tidak valid.

Jadi, titik-titik sudut yang valid adalah (0, 0), (8, 0), (0, 3), dan (6, 1).

Langkah 3: Substitusikan titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan Z = 2x + 3y.

*   Untuk (0, 0): Z = 2(0) + 3(0) = 0
*   Untuk (8, 0): Z = 2(8) + 3(0) = 16
*   Untuk (0, 3): Z = 2(0) + 3(3) = 9
*   Untuk (6, 1): Z = 2(6) + 3(1) = 12 + 3 = 15

Nilai maksimum dari fungsi tujuan 2x + 3y adalah 16, yang terjadi pada titik (8, 0).

Namun, mari kita periksa kembali apakah titik (8,0) memenuhi semua pertidaksamaan:
1. x >= 0 (8 >= 0, Benar)
2. y >= 0 (0 >= 0, Benar)
3. x + 2y <= 8 (8 + 2*0 = 8 <= 8, Benar)
4. x + 3y <= 9 (8 + 3*0 = 8 <= 9, Benar)

Titik (8,0) memang memenuhi semua pertidaksamaan. Mari kita periksa titik (6,1):
1. x >= 0 (6 >= 0, Benar)
2. y >= 0 (1 >= 0, Benar)
3. x + 2y <= 8 (6 + 2*1 = 8 <= 8, Benar)
4. x + 3y <= 9 (6 + 3*1 = 9 <= 9, Benar)

Pada titik (6,1), Z = 2(6) + 3(1) = 12 + 3 = 15.
Pada titik (8,0), Z = 2(8) + 3(0) = 16.

Nilai maksimumnya adalah 16.

Re-evaluasi titik (0,3):
1. x >= 0 (0 >= 0, Benar)
2. y >= 0 (3 >= 0, Benar)
3. x + 2y <= 8 (0 + 2*3 = 6 <= 8, Benar)
4. x + 3y <= 9 (0 + 3*3 = 9 <= 9, Benar)

Pada titik (0,3), Z = 2(0) + 3(3) = 9.

Jadi, nilai maksimum dari 2x+3y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah 16.