Nilai maksimum dari 4x+y untuk x dan y yang memenuhi

Nilai maksimum dari 4x+y adalah 16.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari 4x + y pada daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang diberikan, kita akan menggunakan metode program linear. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis berikut:
1. 5x + 3y <= 20
2. 3y - 5x <= 10
3. y >= 0
4. x >= 0

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang layak ini. Titik pojok didapatkan dari perpotongan garis-garis batas.

Perpotongan garis 1 dan sumbu x (y=0): 5x = 20 => x = 4. Titik (4, 0).
Perpotongan garis 1 dan sumbu y (x=0): 3y = 20 => y = 20/3. Titik (0, 20/3).
Perpotongan garis 2 dan sumbu x (y=0): -5x = 10 => x = -2. Titik (-2, 0). (Tidak relevan karena x>=0)
Perpotongan garis 2 dan sumbu y (x=0): 3y = 10 => y = 10/3. Titik (0, 10/3).

Perpotongan garis 1 dan garis 2:
5x + 3y = 20
-5x + 3y = 10
----------------
Jumlahkan kedua persamaan: 6y = 30 => y = 5.
Substitusikan y=5 ke persamaan 1: 5x + 3(5) = 20 => 5x + 15 = 20 => 5x = 5 => x = 1. Titik (1, 5).

Perpotongan garis 1 dengan y=0 adalah (4,0). Kita cek apakah (4,0) memenuhi pertidaksamaan lain: 3(0) - 5(4) = -20 <= 10 (Benar). Jadi (4,0) adalah titik pojok.

Perpotongan garis 2 dengan x=0 adalah (0, 10/3). Kita cek apakah (0, 10/3) memenuhi pertidaksamaan lain: 5(0) + 3(10/3) = 10 <= 20 (Benar). Jadi (0, 10/3) adalah titik pojok.

Perpotongan kedua garis adalah (1, 5). Kita cek apakah (1,5) memenuhi x>=0 dan y>=0 (Benar). Jadi (1,5) adalah titik pojok.

Titik pojok yang memenuhi semua syarat adalah: (0,0), (4,0), (0, 10/3), dan (1, 5).

Sekarang kita evaluasi fungsi objektif 4x + y di setiap titik pojok:
Di (0,0): 4(0) + 0 = 0
Di (4,0): 4(4) + 0 = 16
Di (0, 10/3): 4(0) + 10/3 = 10/3 ≈ 3.33
Di (1,5): 4(1) + 5 = 9

Nilai maksimum dari 4x + y adalah 16.