Nilai minimum dan maksimum fungsi z=4x+3y yang memenuhi

Minimum 6, Maksimum 22

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dan maksimum fungsi objektif z = 4x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan, kita perlu menentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut, yaitu dengan menggambar grafik dari setiap pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaannya adalah: 1. x + y <= 6 2. 2x + y >= 3 3. x >= 1 4. x <= 4 5. y >= 0. Setelah menggambar daerah penyelesaian (biasanya berbentuk poligon), kita cari titik-titik sudut dari daerah tersebut. Titik-titik sudut inilah yang akan disubstitusikan ke dalam fungsi objektif z = 4x + 3y untuk menemukan nilai minimum dan maksimumnya. Mari kita tentukan titik potong garis-garis yang membatasi: Dari x=1, x=4, y=0, x+y=6, 2x+y=3. Titik-titik sudut yang mungkin adalah perpotongan antara garis-garis ini. 1. Perpotongan x=1 dan y=0: (1,0). Cek pertidaksamaan lain: 1+0<=6 (Benar), 2(1)+0>=3 (Salah). Jadi (1,0) bukan titik sudut yang valid. Mari kita periksa ulang batasannya. Daerahnya dibatasi oleh x=1, x=4, y=0, x+y=6, dan 2x+y=3. Titik-titik sudut yang perlu diperiksa adalah: a. Perpotongan x=1 dan 2x+y=3: 2(1)+y=3 => y=1. Titik (1,1). Cek: 1+1<=6 (Benar), 1>=1 (Benar), 1<=4 (Benar), 1>=0 (Benar). Titik (1,1) valid. b. Perpotongan x=1 dan x+y=6: 1+y=6 => y=5. Titik (1,5). Cek: 2(1)+5>=3 (Benar), 1>=1 (Benar), 1<=4 (Benar), 5>=0 (Benar). Titik (1,5) valid. c. Perpotongan x=4 dan 2x+y=3: 2(4)+y=3 => 8+y=3 => y=-5. Titik (4,-5). Cek: y>=0 (Salah). Tidak valid. d. Perpotongan x=4 dan x+y=6: 4+y=6 => y=2. Titik (4,2). Cek: 2(4)+2>=3 (Benar), 4>=1 (Benar), 4<=4 (Benar), 2>=0 (Benar). Titik (4,2) valid. e. Perpotongan y=0 dan 2x+y=3: 2x+0=3 => x=1.5. Titik (1.5,0). Cek: 1.5+0<=6 (Benar), 1.5>=1 (Benar), 1.5<=4 (Benar), 0>=0 (Benar). Titik (1.5,0) valid. f. Perpotongan y=0 dan x+y=6: x+0=6 => x=6. Titik (6,0). Cek: 2(6)+0>=3 (Benar), 6>=1 (Benar), 6<=4 (Salah). Tidak valid. Jadi, titik-titik sudut yang valid adalah (1,1), (1,5), (4,2), dan (1.5,0). Sekarang kita substitusikan ke z = 4x + 3y: - Untuk (1,1): z = 4(1) + 3(1) = 4 + 3 = 7. - Untuk (1,5): z = 4(1) + 3(5) = 4 + 15 = 19. - Untuk (4,2): z = 4(4) + 3(2) = 16 + 6 = 22. - Untuk (1.5,0): z = 4(1.5) + 3(0) = 6 + 0 = 6. Nilai minimum adalah 6 dan nilai maksimum adalah 22.