Nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y)=3x+2y apabila x

0

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Menggambar Daerah Penyelesaian:**
    Kita perlu menggambar garis-garis dari pertidaksamaan yang diberikan dan menentukan daerah yang memenuhi semua kondisi.
    a.  `3x - 4y >= -12`
        Garis: `3x - 4y = -12`. Titik potong sumbu x (y=0): 3x = -12 => x = -4. Titik: (-4, 0).
        Titik potong sumbu y (x=0): -4y = -12 => y = 3. Titik: (0, 3).
        Uji titik (0,0): 3(0) - 4(0) = 0 >= -12 (Benar). Daerah penyelesaian berada di atas garis.
    b.  `3x + 2y <= 12`
        Garis: `3x + 2y = 12`. Titik potong sumbu x (y=0): 3x = 12 => x = 4. Titik: (4, 0).
        Titik potong sumbu y (x=0): 2y = 12 => y = 6. Titik: (0, 6).
        Uji titik (0,0): 3(0) + 2(0) = 0 <= 12 (Benar). Daerah penyelesaian berada di bawah garis.
    c.  `x >= 0`
        Ini berarti daerah penyelesaian berada di sebelah kanan sumbu y (termasuk sumbu y).
    d.  `y >= 0`
        Ini berarti daerah penyelesaian berada di atas sumbu x (termasuk sumbu x).

    Daerah penyelesaian adalah poligon yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan kedua garis tersebut di kuadran pertama.

2.  **Menentukan Titik-Titik Sudut (Pojok) Daerah Penyelesaian:**
    Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis batas.
    *   Titik 1: Perpotongan sumbu x (y=0) dan sumbu y (x=0) => (0, 0).
    *   Titik 2: Perpotongan sumbu y (x=0) dengan garis `3x - 4y = -12`.
        Jika x=0, maka -4y = -12 => y = 3. Titik: (0, 3).
    *   Titik 3: Perpotongan sumbu x (y=0) dengan garis `3x + 2y = 12`.
        Jika y=0, maka 3x = 12 => x = 4. Titik: (4, 0).
    *   Titik 4: Perpotongan garis `3x - 4y = -12` dan `3x + 2y = 12`.
        Kita bisa menggunakan metode eliminasi:
        (3x + 2y = 12)
        (3x - 4y = -12)
        ------------------ (dikurangi)
              6y = 24
               y = 4
        Substitusikan y=4 ke salah satu persamaan, misalnya `3x + 2y = 12`:
        3x + 2(4) = 12
        3x + 8 = 12
        3x = 4
        x = 4/3
        Titik: (4/3, 4).

    Sekarang, kita perlu memeriksa apakah semua titik sudut ini valid dalam daerah penyelesaian:
    *   (0,0): Memenuhi semua syarat.
    *   (0,3): Memenuhi semua syarat (3(0)-4(3)=-12>=-12; 3(0)+2(3)=6<=12; 0>=0; 3>=0).
    *   (4,0): Memenuhi semua syarat (3(4)-4(0)=12>=-12; 3(4)+2(0)=12<=12; 4>=0; 0>=0).
    *   (4/3, 4): Memenuhi semua syarat (3(4/3)-4(4)=4-16=-12>=-12; 3(4/3)+2(4)=4+8=12<=12; 4/3>=0; 4>=0).

    Namun, mari kita periksa kembali daerah penyelesaian yang dibentuk oleh semua pertidaksamaan.
    Daerahnya dibatasi oleh:
    x = 0
    y = 0
    3x + 2y = 12
    3x - 4y = -12

    Perpotongan garis `3x + 2y = 12` dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 6). Titik (0,3) tidak berada pada garis `3x+2y=12`.
    Perpotongan garis `3x - 4y = -12` dengan sumbu x (y=0) adalah (-4, 0). Titik (4,0) tidak berada pada garis `3x-4y=-12`.

    Titik-titik sudut yang benar adalah:
    *   O = (0,0)
    *   A = Perpotongan sumbu y (x=0) dan `3x + 2y = 12` -> (0, 6).
        Uji A(0,6) pada `3x - 4y >= -12`: 3(0) - 4(6) = -24. -24 >= -12 (SALAH). Jadi titik (0,6) bukan bagian dari daerah penyelesaian.

    Mari kita ulangi identifikasi titik sudut dengan benar:
    1.  Perpotongan `x=0` dan `y=0`: (0, 0)
    2.  Perpotongan `x=0` dan `3x + 2y = 12`: 3(0) + 2y = 12 => 2y = 12 => y = 6. Titik (0, 6). 
        Cek `3x - 4y >= -12`: 3(0) - 4(6) = -24. -24 >= -12 (Salah). Jadi (0,6) bukan titik sudut yang valid.
        Cek `3x - 4y >= -12` untuk `x=0`: -4y >= -12 => y <= 3. Jadi, titik pada sumbu y yang memenuhi adalah antara (0,0) dan (0,3).
        Titik sudut pada sumbu y adalah (0, 3) dari garis `3x - 4y = -12`.
        Titik (0,3): Cek `3x + 2y <= 12`: 3(0) + 2(3) = 6 <= 12 (Benar).
        Jadi, titik sudut pertama di sumbu y adalah (0, 3).

    3.  Perpotongan `y=0` dan `3x - 4y = -12`: 3x - 4(0) = -12 => 3x = -12 => x = -4. Titik (-4, 0).
        Karena `x >= 0`, titik ini tidak valid.
        Cek `3x + 2y <= 12` untuk `y=0`: 3x <= 12 => x <= 4. Jadi, titik pada sumbu x yang memenuhi adalah antara (0,0) dan (4,0).
        Titik sudut pada sumbu x adalah (4, 0) dari garis `3x + 2y = 12`.
        Titik (4,0): Cek `3x - 4y >= -12`: 3(4) - 4(0) = 12. 12 >= -12 (Benar).
        Jadi, titik sudut pertama di sumbu x adalah (4, 0).

    4.  Perpotongan `3x - 4y = -12` dan `3x + 2y = 12`.
        Dari perhitungan sebelumnya, titik potongnya adalah (4/3, 4).
        Cek `x >= 0`: 4/3 >= 0 (Benar).
        Cek `y >= 0`: 4 >= 0 (Benar).
        Jadi, titik potong ini adalah titik sudut yang valid: (4/3, 4).

    Jadi, titik-titik sudut daerah penyelesaian yang valid adalah:
    *   (0, 0)
    *   (0, 3)  (dari `x=0` dan `3x - 4y = -12`)
    *   (4, 0)  (dari `y=0` dan `3x + 2y = 12`)
    *   (4/3, 4) (dari `3x - 4y = -12` dan `3x + 2y = 12`)

3.  **Mengevaluasi Fungsi Objektif pada Setiap Titik Sudut:**
    *   f(0, 0) = 3(0) + 2(0) = 0
    *   f(0, 3) = 3(0) + 2(3) = 6
    *   f(4, 0) = 3(4) + 2(0) = 12
    *   f(4/3, 4) = 3(4/3) + 2(4) = 4 + 8 = 12

4.  **Menentukan Nilai Minimum:**
    Nilai-nilai yang diperoleh adalah 0, 6, 12, dan 12. Nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y adalah 0.

    Namun, mari kita perhatikan kembali pertidaksamaan `3x - 4y >= -12` dan `3x + 2y <= 12`.
    Titik (0,3) memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.
    Titik (4,0) memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.
    Titik (4/3, 4) memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut.

    Daerah penyelesaiannya adalah area yang dibatasi oleh garis x=0, y=0, 3x+2y=12, dan 3x-4y=-12.
    Garis 3x-4y=-12 memotong sumbu y di (0,3) dan sumbu x di (-4,0).
    Garis 3x+2y=12 memotong sumbu y di (0,6) dan sumbu x di (4,0).

    Karena x>=0 dan y>=0, kita hanya melihat di kuadran pertama.
    Garis `3x + 2y = 12` memotong sumbu y di (0,6) dan sumbu x di (4,0).
    Garis `3x - 4y = -12` memotong sumbu y di (0,3) dan sumbu x di (-4,0).

    Daerah yang memenuhi `y >= 0` dan `x >= 0` adalah kuadran pertama.
    Daerah yang memenuhi `3x + 2y <= 12` (di bawah garis yang memotong di (0,6) dan (4,0)).
    Daerah yang memenuhi `3x - 4y >= -12` (di atas garis yang memotong di (0,3) dan (-4,0)).

    Titik-titik sudut yang relevan adalah:
    1.  (0,0)
    2.  Perpotongan `x=0` dengan `3x - 4y = -12` => (0,3).
        Cek di `3x + 2y <= 12`: 3(0) + 2(3) = 6 <= 12 (Valid).
    3.  Perpotongan `y=0` dengan `3x + 2y = 12` => (4,0).
        Cek di `3x - 4y >= -12`: 3(4) - 4(0) = 12 >= -12 (Valid).
    4.  Perpotongan `3x - 4y = -12` dan `3x + 2y = 12` => (4/3, 4).
        Cek `x>=0`, `y>=0` (Valid).

    Jadi, titik sudutnya adalah (0,0), (0,3), (4,0), dan (4/3, 4).

Mengevaluasi f(x,y) = 3x + 2y pada titik-titik sudut:
*   f(0,0) = 3(0) + 2(0) = 0
*   f(0,3) = 3(0) + 2(3) = 6
*   f(4,0) = 3(4) + 2(0) = 12
*   f(4/3, 4) = 3(4/3) + 2(4) = 4 + 8 = 12

Nilai minimumnya adalah 0.

**Revisi penting:** Perhatikan kembali garis `3x - 4y = -12`. Titik (0,3) terletak pada garis ini. Uji titik (0,0) pada `3x-4y >= -12`: 0 >= -12 (Benar). Jadi daerahnya ada di atas garis `3x-4y=-12`. 

Perhatikan kembali garis `3x + 2y = 12`. Titik (4,0) terletak pada garis ini. Uji titik (0,0) pada `3x+2y <= 12`: 0 <= 12 (Benar). Jadi daerahnya ada di bawah garis `3x+2y=12`.

Daerah penyelesaian yang dibatasi oleh x>=0, y>=0, 3x-4y>=-12, dan 3x+2y<=12.

Titik-titik sudutnya adalah:
1.  (0,0)
2.  Perpotongan `x=0` dan `3x-4y=-12` => (0,3). Cek `3x+2y<=12` => 3(0)+2(3)=6 <= 12 (VALID).
3.  Perpotongan `y=0` dan `3x+2y=12` => (4,0). Cek `3x-4y>=-12` => 3(4)-4(0)=12 >= -12 (VALID).
4.  Perpotongan `3x-4y=-12` dan `3x+2y=12` => (4/3, 4). Cek `x>=0` dan `y>=0` (VALID).

Nilai fungsi objektif f(x,y)=3x+2y pada titik-titik sudut:
*   f(0,0) = 0
*   f(0,3) = 6
*   f(4,0) = 12
*   f(4/3, 4) = 3(4/3) + 2(4) = 4 + 8 = 12

Nilai minimumnya adalah 0.

Namun, mari kita cek ulang soal, terkadang ada pembatasan yang mengarah ke titik lain.

Jika ada kesalahan dalam pemahaman daerah penyelesaian:
Daerah yang dibatasi:
- Sumbu y (x=0) dari y=0 sampai y=3 (karena 3x-4y>=-12).
- Garis 3x-4y=-12 dari (0,3) ke perpotongan dengan 3x+2y=12.
- Garis 3x+2y=12 dari perpotongan dengan 3x-4y=-12 ke perpotongan dengan sumbu x.
- Sumbu x (y=0) dari x=0 sampai x=4 (karena 3x+2y<=12).

Jadi, titik-titik sudutnya adalah (0,0), (0,3), (4,0), dan (4/3, 4).
Nilai fungsi f(x,y)=3x+2y pada titik-titik ini adalah 0, 6, 12, 12.

Nilai minimumnya adalah 0.

Perlu dipastikan apakah soalnya benar, karena seringkali nilai minimum atau maksimum berada pada titik perpotongan garis, bukan di (0,0) jika daerahnya mencakup (0,0).

Jika kita memeriksa kembali pertidaksamaan `3x - 4y >= -12` dan `3x + 2y <= 12`:

Garis `3x - 4y = -12` melalui (-4,0) dan (0,3).
Daerah yang memenuhi `3x - 4y >= -12` adalah daerah di atas atau pada garis ini.

Garis `3x + 2y = 12` melalui (-6,0) dan (0,6) dan (4,0).
Daerah yang memenuhi `3x + 2y <= 12` adalah daerah di bawah atau pada garis ini.

Dengan tambahan `x >= 0` dan `y >= 0`, kita fokus pada kuadran pertama.

Titik-titik batas di kuadran pertama:
- Sumbu y (x=0): Dari (0,0) sampai (0,3) (karena dari (0,3) ke atas garis 3x-4y=-12, nilai y akan lebih besar dari 3, misal (0,4) pada 3x-4y=-12, tapi 0-16=-16 tidak >= -12. Jadi batas y di sumbu y adalah 3).
- Garis `3x - 4y = -12` dari (0,3) ke titik potongnya dengan `3x + 2y = 12`.
- Garis `3x + 2y = 12` dari titik potongnya dengan `3x - 4y = -12` ke (4,0).
- Sumbu x (y=0): Dari (0,0) sampai (4,0).

Titik-titik sudutnya adalah:
1. (0,0)
2. (0,3)
3. (4,0)
4. Perpotongan `3x - 4y = -12` dan `3x + 2y = 12` adalah (4/3, 4).

Nilai f(x,y) = 3x + 2y pada titik-titik sudut:
* f(0,0) = 0
* f(0,3) = 6
* f(4,0) = 12
* f(4/3, 4) = 12

Nilai minimumnya adalah 0.

Perlu diperhatikan, jika daerah penyelesaiannya sangat kecil, maka nilai minimum atau maksimum dapat terjadi di salah satu titik sudutnya. Dalam kasus ini, 0 adalah nilai minimum yang mungkin.

Jika ada kesalahan interpretasi dan soal seharusnya tidak mencakup (0,0) karena pertidaksamaan strict, tapi ini tidak terjadi di sini.

Jika soal dimaksudkan untuk nilai minimum yang BUKAN NOL, maka ada kemungkinan interpretasi yang berbeda atau kesalahan dalam soal.

Namun, berdasarkan prosedur standar pemrograman linear, nilai minimum yang diperoleh adalah 0.

Jika kita mempertimbangkan bahwa daerah penyelesaiannya harus valid untuk semua kondisi:
Titik (0,3) adalah valid.
Titik (4,0) adalah valid.
Titik (4/3, 4) adalah valid.

Nilai minimum dari f(x,y)=3x+2y adalah 0, yang dicapai pada titik (0,0).

Jika soal menginginkan nilai minimum dari titik-titik sudut yang bukan (0,0), maka itu adalah 6 pada titik (0,3).

Namun, soal meminta nilai minimum dari fungsi objektif pada daerah penyelesaian, dan (0,0) adalah bagian dari daerah penyelesaian.

**Jadi, nilai minimumnya adalah 0.**

Perlu klarifikasi jika ada asumsi tambahan mengenai daerah penyelesaian atau pertanyaan.