Nilai minimum f(x, y)=5x+4y yang me-menuhi sistem

Nilai minimum f(x, y) adalah 12.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi tujuan f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut:
1. 3x + 4y ≥ 12
2. 3x + 2y ≤ 9
3. 0 ≤ x ≤ 1

Langkah 1: Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.
Kita akan mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Dari pertidaksamaan 0 ≤ x ≤ 1, kita tahu bahwa nilai x dibatasi antara 0 dan 1.

Mari kita cari titik potong dari garis-garis pembatas:

Titik potong antara 3x + 4y = 12 dan x = 0:
3(0) + 4y = 12 => 4y = 12 => y = 3. Titik: (0, 3)

Titik potong antara 3x + 4y = 12 dan x = 1:
3(1) + 4y = 12 => 3 + 4y = 12 => 4y = 9 => y = 9/4. Titik: (1, 9/4)

Titik potong antara 3x + 2y = 9 dan x = 0:
3(0) + 2y = 9 => 2y = 9 => y = 9/2. Titik: (0, 9/2)

Titik potong antara 3x + 2y = 9 dan x = 1:
3(1) + 2y = 9 => 3 + 2y = 9 => 2y = 6 => y = 3. Titik: (1, 3)

Sekarang, kita perlu menemukan titik potong antara garis 3x + 4y = 12 dan 3x + 2y = 9.
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(3x + 4y) - (3x + 2y) = 12 - 9
2y = 3 => y = 3/2
Substitusikan y = 3/2 ke salah satu persamaan, misalnya 3x + 2y = 9:
3x + 2(3/2) = 9
3x + 3 = 9
3x = 6 => x = 2. Titik potong: (2, 3/2)

Namun, titik (2, 3/2) tidak memenuhi batasan 0 ≤ x ≤ 1.

Mari kita periksa kembali daerah penyelesaian dengan mempertimbangkan batasan x.

Kita perlu mencari titik-titik pojok yang memenuhi semua pertidaksamaan:

1. Pertidaksamaan 3x + 4y ≥ 12:
   - Jika x = 0, maka 4y ≥ 12 => y ≥ 3. Titik (0, 3).
   - Jika x = 1, maka 3 + 4y ≥ 12 => 4y ≥ 9 => y ≥ 9/4. Titik (1, 9/4).

2. Pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 9:
   - Jika x = 0, maka 2y ≤ 9 => y ≤ 9/2. Titik (0, 9/2).
   - Jika x = 1, maka 3 + 2y ≤ 9 => 2y ≤ 6 => y ≤ 3. Titik (1, 3).

3. Pertidaksamaan 0 ≤ x ≤ 1.

Kita perlu mencari titik-titik di mana garis-garis ini berpotongan dalam rentang 0 ≤ x ≤ 1.

- Titik potong garis x=0 dengan 3x+4y=12 adalah (0,3).
- Titik potong garis x=1 dengan 3x+4y=12 adalah (1, 9/4).
- Titik potong garis x=0 dengan 3x+2y=9 adalah (0, 9/2).
- Titik potong garis x=1 dengan 3x+2y=9 adalah (1, 3).

Sekarang kita perlu menentukan daerah yang valid. Uji titik (0,0):
3(0)+4(0) >= 12 (Salah)
3(0)+2(0) <= 9 (Benar)
0 <= 0 <= 1 (Benar)

Karena 3x+4y >= 12, daerahnya berada di atas atau pada garis 3x+4y=12.
Karena 3x+2y <= 9, daerahnya berada di bawah atau pada garis 3x+2y=9.
Karena 0 <= x <= 1, daerahnya berada di antara garis x=0 dan x=1.

Titik-titik pojok yang mungkin adalah perpotongan garis-garis batas dalam rentang x=[0,1]:

1. Perpotongan x=0 dengan 3x+4y=12: (0, 3). Periksa pertidaksamaan lain: 3(0)+2(3) = 6 <= 9 (Benar). Jadi (0, 3) adalah titik pojok.
2. Perpotongan x=1 dengan 3x+4y=12: (1, 9/4). Periksa pertidaksamaan lain: 3(1)+2(9/4) = 3 + 9/2 = 15/2 = 7.5 <= 9 (Benar). Jadi (1, 9/4) adalah titik pojok.
3. Perpotongan x=0 dengan 3x+2y=9: (0, 9/2). Periksa pertidaksamaan lain: 3(0)+4(9/2) = 18 >= 12 (Benar). Namun, kita perlu memperhatikan bahwa daerah 3x+4y >= 12 dimulai dari y=3 pada x=0. Jadi (0, 9/2) tidak termasuk dalam daerah yang memenuhi 3x+4y>=12 dan x=0. Titik yang valid di x=0 adalah dari y=3 ke atas, tetapi juga harus memenuhi 3x+2y<=9, yang pada x=0 berarti y<=4.5. Jadi, pada x=0, y berada dalam interval [3, 4.5]. Titik pojok pada x=0 adalah (0,3).

4. Perpotongan x=1 dengan 3x+2y=9: (1, 3). Periksa pertidaksamaan lain: 3(1)+4(3) = 3+12 = 15 >= 12 (Benar). Jadi (1, 3) adalah titik pojok.

Titik-titik pojok yang memenuhi semua kondisi adalah: (0, 3), (1, 9/4), dan (1, 3).

Langkah 2: Evaluasi fungsi tujuan f(x, y) = 5x + 4y di setiap titik pojok.
- Di (0, 3): f(0, 3) = 5(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12.
- Di (1, 9/4): f(1, 9/4) = 5(1) + 4(9/4) = 5 + 9 = 14.
- Di (1, 3): f(1, 3) = 5(1) + 4(3) = 5 + 12 = 17.

Nilai minimum dari f(x, y) adalah nilai terkecil dari hasil evaluasi, yaitu 12.