Nilai n yang memenuhi (2n-2) C (2n-4)=15 adalah ...

Nilai n yang memenuhi adalah 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\binom{2n-2}{2n-4} = 15$, kita perlu menggunakan definisi koefisien binomial.

Koefisien binomial $\binom{n}{k}$ didefinisikan sebagai $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Dalam kasus ini, kita memiliki:
n = 2n - 2
k = 2n - 4

Maka, n - k = (2n - 2) - (2n - 4) = 2n - 2 - 2n + 4 = 2.

Sehingga persamaan menjadi:
$\frac{(2n-2)!}{(2n-4)!(2)!} = 15$

Kita tahu bahwa $(2n-2)! = (2n-2) 	imes (2n-3) 	imes (2n-4)!$.

Mengganti ini ke dalam persamaan:
$\frac{(2n-2)(2n-3)(2n-4)!}{(2n-4)!(2)} = 15$

Kita bisa mencoret $(2n-4)!$ dari pembilang dan penyebut:
$\frac{(2n-2)(2n-3)}{2} = 15$

Kalikan kedua sisi dengan 2:
$(2n-2)(2n-3) = 30$

Jabarkan persamaan kuadrat:
$4n^2 - 6n - 4n + 6 = 30$
$4n^2 - 10n + 6 = 30$
$4n^2 - 10n - 24 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan 2 untuk menyederhanakannya:
$2n^2 - 5n - 12 = 0$

Sekarang kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $2 \times -12 = -24$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan tersebut adalah -8 dan 3.

$2n^2 - 8n + 3n - 12 = 0$
$2n(n - 4) + 3(n - 4) = 0$
$(2n + 3)(n - 4) = 0$

Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai n:
$2n + 3 = 0 \implies 2n = -3 \implies n = -3/2$
$n - 4 = 0 \implies n = 4$

Dalam konteks kombinasi, nilai n haruslah bilangan bulat non-negatif yang memenuhi $n \ge k$.
Untuk n = -3/2, nilai $2n-2 = -3-2 = -5$ dan $2n-4 = -6-4 = -10$. Nilai negatif tidak valid untuk kombinasi.
Untuk n = 4, nilai $2n-2 = 2(4)-2 = 8-2 = 6$ dan $2n-4 = 2(4)-4 = 8-4 = 4$. Kondisi $n \ge k$ terpenuhi ($6 \ge 4$).

Mari kita cek apakah $\binom{6}{4} = 15$: $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$. Ini benar.

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 4.