Nilai (x+y) yang paling kecil untuk himpunan penyelesaian

1

Pembahasan

Untuk mencari nilai (x+y) yang paling kecil untuk himpunan penyelesaian program linear yang diberikan, kita perlu mengidentifikasi titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi kendala:
Kendala:
1) 5y + 3x >= 5
2) 2y + 3x >= 3
3) x >= 0
4) y >= 0
Kita akan mencari titik potong dari garis-garis batas kendala:
Titik potong kendala 1 dan 2:
Kurangkan persamaan (1) dari (2):
(2y + 3x) - (5y + 3x) = 3 - 5
-3y = -2
y = 2/3
Substitusikan y = 2/3 ke salah satu persamaan, misal ke (2):
2(2/3) + 3x = 3
4/3 + 3x = 3
3x = 3 - 4/3
3x = 9/3 - 4/3
3x = 5/3
x = 5/9
Titik potong (5/9, 2/3).
Titik potong kendala 1 dengan sumbu x (y=0):
5(0) + 3x = 5 => 3x = 5 => x = 5/3. Titik (5/3, 0).
Titik potong kendala 2 dengan sumbu x (y=0):
2(0) + 3x = 3 => 3x = 3 => x = 1. Titik (1, 0).
Titik potong kendala 1 dengan sumbu y (x=0):
5y + 3(0) = 5 => 5y = 5 => y = 1. Titik (0, 1).
Titik potong kendala 2 dengan sumbu y (x=0):
2y + 3(0) = 3 => 2y = 3 => y = 3/2. Titik (0, 3/2).
Karena kendala adalah '>=' dan x, y >= 0, maka daerah penyelesaian berada di atas garis-garis tersebut di kuadran pertama. Titik-titik sudut yang relevan adalah (5/9, 2/3), (1, 0) dan (0, 3/2). Kita perlu mengecek apakah titik (5/3, 0) dan (0,1) termasuk dalam daerah penyelesaian.
Untuk titik (5/3, 0):
Kendala 1: 5(0) + 3(5/3) = 5 >= 5 (memenuhi)
Kendala 2: 2(0) + 3(5/3) = 5 >= 3 (memenuhi)
Jadi (5/3, 0) adalah titik sudut.
Untuk titik (0, 3/2):
Kendala 1: 5(3/2) + 3(0) = 15/2 = 7.5 >= 5 (memenuhi)
Kendala 2: 2(3/2) + 3(0) = 3 >= 3 (memenuhi)
Jadi (0, 3/2) adalah titik sudut.
Titik sudut yang perlu diuji adalah (5/9, 2/3), (1, 0), (5/3, 0), dan (0, 3/2).
Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan f(x, y) = x+y di setiap titik sudut:
Di (5/9, 2/3): x+y = 5/9 + 2/3 = 5/9 + 6/9 = 11/9
Di (1, 0): x+y = 1 + 0 = 1
Di (5/3, 0): x+y = 5/3 + 0 = 5/3
Di (0, 3/2): x+y = 0 + 3/2 = 3/2
Nilai terkecil dari x+y adalah 1, yang terjadi pada titik (1, 0).