Jika diketahui f(x)=sin (x-(3/pi)) dan g(x)= sec

0 (dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal dan limit seharusnya $x \to \frac{3}{\pi}$)

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ dengan $f(x) = \sin(x - \frac{3}{\pi})$ dan $g(x) = \sec^2(x - \frac{3}{\pi})$, kita substitusikan nilai $x=0$ ke dalam fungsi tersebut.

$f(0) = \sin(0 - \frac{3}{\pi}) = \sin(-\frac{3}{\pi})$
$g(0) = \sec^2(0 - \frac{3}{\pi}) = \sec^2(-\frac{3}{\pi})$

Karena $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ dan $\sec(-\theta) = \sec(\theta)$, maka:

$f(0) = -\sin(\frac{3}{\pi})$
$g(0) = \sec^2(\frac{3}{\pi})$

Nilai limitnya adalah:
$\\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(0)}{g(0)} = \frac{-\sin(\frac{3}{\pi})}{\sec^2(\frac{3}{\pi})}$

Kita tahu bahwa $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$, sehingga $\sec^2(\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta)}$.

Jadi, limitnya menjadi:
$\\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -\sin(\frac{3}{\pi}) \times \cos^2(\frac{3}{\pi})$

Namun, jika kita perhatikan bentuk soalnya, tampaknya ada kekeliruan dalam penulisan soal, terutama pada argumen fungsi trigonometri yang menggunakan $\frac{3}{\pi}$. Jika yang dimaksud adalah limit ketika $x$ mendekati nilai tertentu yang membuat argumen fungsi menjadi lebih sederhana, atau jika ada kesalahan ketik pada soal. 

Asumsikan jika yang dimaksud adalah $\lim_{x \to \frac{3}{\pi}} \frac{\sin(x - \frac{3}{\pi})}{\sec^2(x - \frac{3}{\pi})}$:
Misalkan $u = x - \frac{3}{\pi}$. Ketika $x \to \frac{3}{\pi}$, maka $u \to 0$.
Limit menjadi $\\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{\sec^2(u)} = \\lim_{u \to 0} \sin(u) \cos^2(u) = \sin(0) \cos^2(0) = 0 \times 1^2 = 0$.

Jika soal sudah benar apa adanya dan kita evaluasi di $x=0$:
$\\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x - \frac{3}{\pi})}{\sec^2(x - \frac{3}{\pi})} = \frac{\sin(-\frac{3}{\pi})}{\sec^2(-\frac{3}{\pi})} = \frac{-\sin(\frac{3}{\pi})}{1/\cos^2(-\frac{3}{\pi})} = -\sin(\frac{3}{\pi})\cos^2(\frac{3}{\pi})$
Nilai $\frac{3}{\pi}$ radian kira-kira $0.95$ radian atau sekitar $54.6$ derajat. $\sin(54.6^{\circ})$ dan $\cos(54.6^{\circ})$ adalah nilai spesifik.

Tanpa nilai $\pi \approx 3.14$, $\frac{3}{\pi}$ bukan sudut istimewa. Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah $x \to \frac{3}{\pi}$, maka jawabannya adalah 0. Jika soal persis seperti itu, jawabannya adalah $-\sin(\frac{3}{\pi})\cos^2(\frac{3}{\pi})$. Mengingat konteks soal tes PTN, kemungkinan besar ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah limit menuju $\frac{3}{\pi}$.