Nyatakan penjumlahan berikut dengan menggunakan tanda

$\sum_{k=1}^{9} \frac{2}{k+1}$

Pembahasan

Penjumlahan 1 + 2/3 + 2/4 + ... + 2/10 dapat dinyatakan dalam notasi sigma sebagai berikut:

Pertama, kita identifikasi pola dari setiap suku:
- Suku pertama adalah 1.
- Suku kedua adalah 2/3.
- Suku ketiga adalah 2/4.
- ...
- Suku terakhir adalah 2/10.

Kita bisa melihat bahwa mulai dari suku kedua, pembilangnya adalah 2. Penyebutnya berubah dari 3 hingga 10.

Mari kita perhatikan suku-suku mulai dari kedua: 2/3, 2/4, 2/5, ..., 2/10.
Ini bisa ditulis sebagai 2/n, di mana n berjalan dari 3 hingga 10.

Jadi, bagian dari penjumlahan tersebut adalah $\sum_{n=3}^{10} \frac{2}{n}$.

Sekarang kita perlu memasukkan suku pertama, yaitu 1.
Kita bisa menulis 1 sebagai 2/2. Namun, ini tidak sesuai dengan pola $\sum_{n=3}^{10} \frac{2}{n}$ karena indeksnya mulai dari 3.

Cara lain untuk memasukkan suku pertama adalah dengan menambahkan 1 secara terpisah:
$1 + \sum_{n=3}^{10} \frac{2}{n}$

Namun, kita bisa mencoba membuat indeks sigma dimulai dari 2. Jika kita menginginkan indeks sigma dimulai dari 2, maka kita perlu menyesuaikan bentuk suku agar sesuai.
Misalkan kita menggunakan indeks k yang dimulai dari 2:
Untuk k=2, suku = 1
Untuk k=3, suku = 2/3
Untuk k=4, suku = 2/4
...
Untuk k=10, suku = 2/10

Jika kita perhatikan, mulai dari suku kedua (nilai 2/3), suku tersebut dapat ditulis sebagai 2/(k) di mana k mulai dari 3 sampai 10. Suku pertama adalah 1.

Jadi, penjumlahan tersebut dapat ditulis sebagai: $1 + \sum_{k=3}^{10} \frac{2}{k}$

Atau, kita bisa mencoba memanipulasi bentuknya agar indeks sigma dimulai dari nilai yang lebih awal. Jika kita ingin menyertakan suku pertama (1) dalam sigma, kita bisa mencoba bentuk seperti $\sum_{k=2}^{10} a_k$. Untuk k=2, $a_2=1$. Untuk k=3, $a_3=2/3$. Untuk k=4, $a_4=2/4$, dst.

Perhatikan bahwa untuk $k \ge 3$, suku ke-k adalah $\frac{2}{k}$.
Bagaimana dengan suku pertama? Jika kita menetapkan suku ke-k = $\frac{2}{k+1}$ dimulai dari k=1, maka:
Untuk k=1: 2/(1+1) = 2/2 = 1. Ini cocok!
Untuk k=2: 2/(2+1) = 2/3. Ini cocok!
Untuk k=3: 2/(3+1) = 2/4. Ini cocok!
...
Untuk suku terakhir 2/10, kita perlu 2/(k+1) = 2/10, yang berarti k+1 = 10, sehingga k=9.

Dengan demikian, penjumlahan tersebut dapat dinyatakan sebagai $\sum_{k=1}^{9} \frac{2}{k+1}$.

Mari kita cek:
Untuk k=1: 2/(1+1) = 2/2 = 1
Untuk k=2: 2/(2+1) = 2/3
Untuk k=3: 2/(3+1) = 2/4
...
Untuk k=9: 2/(9+1) = 2/10

Ini adalah representasi yang benar.