P adalah titik (2,0,1), Q adalah (0,-3,2) dan R adalah

Sudut POQ adalah arccos(2/sqrt(65)) atau sekitar 75.67 derajat.

Pembahasan

Untuk menghitung sudut POQ, kita akan menggunakan konsep dot product (hasil kali titik) antara vektor PO dan vektor QO.

Titik P = (2, 0, 1)
Titik Q = (0, -3, 2)
Titik R = (5, 0, -1)
Titik O (titik pangkal) = (0, 0, 0)

1. **Menentukan Vektor PO dan QO:**
Vektor PO adalah vektor dari O ke P. Jika O=(0,0,0) dan P=(x_p, y_p, z_p), maka vektor OP = (x_p, y_p, z_p). Maka vektor PO = -OP.
Namun, biasanya dalam konteks sudut antara dua titik dari titik pangkal, yang dimaksud adalah vektor OP dan OQ.
Mari kita asumsikan yang dimaksud adalah sudut antara vektor OP dan OQ.

Vektor OP = P - O = (2 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)
Vektor OQ = Q - O = (0 - 0, -3 - 0, 2 - 0) = (0, -3, 2)

2. **Menghitung Dot Product (Hasil Kali Titik) dari OP dan OQ:**
Rumus dot product untuk vektor a = (a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) adalah a · b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.

OP · OQ = (2 * 0) + (0 * -3) + (1 * 2)
OP · OQ = 0 + 0 + 2
OP · OQ = 2

3. **Menghitung Besar (Magnitude) dari Vektor OP dan OQ:**
Besar vektor a = (a1, a2, a3) adalah |a| = sqrt(a1² + a2² + a3²).

|OP| = sqrt(2² + 0² + 1²)
|OP| = sqrt(4 + 0 + 1)
|OP| = sqrt(5)

|OQ| = sqrt(0² + (-3)² + 2²)
|OQ| = sqrt(0 + 9 + 4)
|OQ| = sqrt(13)

4. **Menghitung Sudut POQ (θ) menggunakan Rumus Dot Product:**
Rumus dot product juga dapat ditulis sebagai: a · b = |a| |b| cos(θ).

Maka, cos(θ) = (OP · OQ) / (|OP| * |OQ|)
cos(θ) = 2 / (sqrt(5) * sqrt(13))
cos(θ) = 2 / sqrt(65)

Untuk mencari sudut θ, kita gunakan fungsi arccosine (cos⁻¹):
θ = arccos(2 / sqrt(65))

Mari kita hitung nilai numeriknya:
sqrt(65) ≈ 8.062
cos(θ) ≈ 2 / 8.062 ≈ 0.248

θ = arccos(0.248)
θ ≈ 75.67°

Jadi, sudut POQ adalah sekitar **75.67 derajat**.