Pada balok ABCD.EFGH berikut ini, panjang AB=12 cm, BC=9

a. Panjang BD = 15 cm, b. Panjang diagonal ruang HB = $3\sqrt{34}$ cm.

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan CG = 8 cm.

a. Menghitung panjang BD:
BD adalah diagonal sisi alas ABCD. Alas ABCD berbentuk persegi panjang. Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC.
$BD^2 = AB^2 + BC^2$
$BD^2 = 12^2 + 9^2$
$BD^2 = 144 + 81$
$BD^2 = 225$
$BD = \sqrt{225}$
$BD = 15$ cm.

b. Menghitung panjang diagonal ruang HB:
Diagonal ruang HB menghubungkan sudut H dengan sudut B. Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku HGB (dengan alas GB = diagonal sisi alas AC = BD = 15 cm) atau pada segitiga siku-siku HDB (dengan alas DB = 15 cm dan tinggi DH = BC = 9 cm).
Mari kita gunakan segitiga HDB.
$HB^2 = HD^2 + DB^2$
$HB^2 = 9^2 + 15^2$
$HB^2 = 81 + 225$
$HB^2 = 306$
$HB = \sqrt{306}$
$HB = \sqrt{9 \times 34}$
$HB = 3\sqrt{34}$ cm.

Atau menggunakan segitiga siku-siku BCGF, di mana BG adalah diagonal alas:
$BG^2 = BC^2 + CG^2$
$BG^2 = 9^2 + 8^2$
$BG^2 = 81 + 64$
$BG^2 = 145$
$BG = \sqrt{145}$

Sekarang gunakan segitiga siku-siku ABGH, di mana diagonal ruangnya adalah BH:
$BH^2 = AB^2 + BG^2$
$BH^2 = 12^2 + (\sqrt{145})^2$
$BH^2 = 144 + 145$
$BH^2 = 289$
$BH = \sqrt{289}$
$BH = 17$ cm. 

*Perbaikan*: Terdapat kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita gunakan segitiga siku-siku HGC untuk mencari HG (yang sama dengan BC = 9 cm) dan CG (8 cm), lalu gunakan segitiga siku-siku HGB untuk mencari HB.

Diagonal sisi alas ABCD adalah BD. Menggunakan segitiga siku-siku ABC:
$BD^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$
$BD = \sqrt{225} = 15$ cm.

Diagonal ruang HB bisa dihitung menggunakan segitiga siku-siku HDB. Sisi HD sama dengan BC = 9 cm.
$HB^2 = HD^2 + DB^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$
$HB = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}$ cm.

Alternatif lain, gunakan segitiga siku-siku DCGH. Sisi DC = AB = 12 cm, CG = 8 cm. Diagonal EG = $\sqrt{DC^2 + CG^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144+64} = \sqrt{208}$.
Kemudian gunakan segitiga siku-siku EHG. Sisi EH = BC = 9 cm, HG = AB = 12 cm.
Diagonal BG = $\sqrt{BC^2 + CG^2} = \sqrt{9^2 + 8^2} = \sqrt{81+64} = \sqrt{145}$.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABG, dengan AB = 12 cm dan BG adalah diagonal sisi BCGF.
$BG^2 = BC^2 + CG^2 = 9^2 + 8^2 = 81 + 64 = 145$
$BG = \sqrt{145}$ cm.

Sekarang, gunakan segitiga siku-siku ABH (salah, seharusnya ABGH).
Perhatikan segitiga siku-siku ADH. AD = BC = 9 cm, DH = CG = 8 cm. $AH^2 = AD^2 + DH^2 = 9^2 + 8^2 = 81 + 64 = 145$. $AH = \sqrt{145}$ cm.

Perhatikan segitiga siku-siku ABF. AB = 12 cm, BF = CG = 8 cm. $AF^2 = AB^2 + BF^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$. $AF = \sqrt{208}$ cm.

Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BF = 8 cm, FG = AB = 12 cm. $BG^2 = BF^2 + FG^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$. $BG = \sqrt{208}$ cm.

Mari kita hitung ulang dengan benar:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan CG = 8 cm.

a. Panjang BD:
BD adalah diagonal alas ABCD yang berbentuk persegi panjang. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC:
$BD^2 = AB^2 + BC^2$
$BD^2 = 12^2 + 9^2$
$BD^2 = 144 + 81$
$BD^2 = 225$
$BD = \sqrt{225}$
$BD = 15$ cm.

b. Panjang diagonal ruang HB:
Diagonal ruang HB dapat dihitung menggunakan segitiga siku-siku HDB. Sisi HD sama panjangnya dengan BC, yaitu 9 cm. Sisi DB adalah diagonal alas yang sudah kita hitung, yaitu 15 cm.
Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku HDB:
$HB^2 = HD^2 + DB^2$
$HB^2 = 9^2 + 15^2$
$HB^2 = 81 + 225$
$HB^2 = 306$
$HB = \sqrt{306}$
$HB = \sqrt{9 \times 34}$
$HB = 3\sqrt{34}$ cm.

Jawaban yang benar adalah:
a. Panjang BD = 15 cm
b. Panjang diagonal ruang HB = $3\sqrt{34}$ cm.