Pada gambar kubus berikut, titik T merupakan perpotongan

Jarak titik A ke garis CT adalah $8\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik A dan garis CT pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik pada garis dan teorema Pythagoras. Titik T adalah perpotongan diagonal EG dan FH pada bidang EFGH. Pertama, kita perlu mencari panjang CT. Segitiga CGE adalah segitiga siku-siku di G. Panjang CG = 12 cm. Panjang GE adalah diagonal bidang EFGH, sehingga $GE = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ cm. Titik T berada di tengah EG, sehingga ET = TG = $6\sqrt{2}$ cm. 

Sekarang, perhatikan segitiga CTG. Siku-siku di T. Kita sudah punya TG = $6\sqrt{2}$ cm. Kita perlu mencari CT. CT adalah setengah dari diagonal ruang CA. Diagonal ruang CA dapat dihitung dengan $CA = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CG^2} = \sqrt{12^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{3 	imes 144} = 12\sqrt{3}$ cm. Maka, CT = $\frac{1}{2} CA = \frac{1}{2} (12\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$ cm. 

Sekarang kita punya segitiga ACT. Kita perlu mencari jarak dari A ke garis CT. 
Misalkan P adalah titik pada CT sehingga AP tegak lurus CT. Maka AP adalah jarak yang kita cari. Kita bisa menggunakan luas segitiga ACT. Luas segitiga ACT dapat dihitung dengan menganggap alasnya adalah AC dan tingginya adalah jarak dari T ke AC. Namun, ini mungkin rumit. Cara lain adalah menggunakan koordinat.

Mari kita gunakan cara lain dengan proyeksi. 

Perhatikan segitiga AET. AE = 12 cm, ET = $6\sqrt{2}$ cm. Sudut AE T = 90 derajat.
Kita perlu mencari panjang CT terlebih dahulu. Dalam kubus ABCD.EFGH, T adalah pusat dari bidang EFGH. CT adalah garis dari sudut alas ke pusat bidang atas. Panjang CT dapat dihitung menggunakan segitiga CGE. CG = 12. GE = $12\sqrt{2}$. T adalah titik tengah GE. Maka GT = $6\sqrt{2}$. Segitiga CTG siku-siku di T. $CT^2 = CG^2 + GT^2 = 12^2 + (6\sqrt{2})^2 = 144 + 72 = 216$. Jadi, $CT = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ cm. 

Sekarang kita cari jarak dari titik A ke garis CT. Kita bisa menggunakan segitiga ACT. AC = $12\sqrt{2}$ (diagonal bidang). AT = $12\sqrt{2}$ (setengah diagonal bidang). CT = $6\sqrt{6}$. Ini adalah segitiga sama kaki. 

Mari kita gunakan teorema dewan cosinus pada segitiga ACT untuk mencari salah satu sudut, misalnya sudut CAT. Misalkan $\alpha$ = sudut CAT.
$CT^2 = AC^2 + AT^2 - 2(AC)(AT) 	ext{cos}(\alpha)$
$(6\sqrt{6})^2 = (12\sqrt{2})^2 + (12\sqrt{2})^2 - 2(12\sqrt{2})(12\sqrt{2}) 	ext{cos}(\alpha)$
$216 = 288 + 288 - 2(288) 	ext{cos}(\alpha)$
$216 = 576 - 576 	ext{cos}(\alpha)$
$576 	ext{cos}(\alpha) = 576 - 216 = 360$
$	ext{cos}(\alpha) = \frac{360}{576} = \frac{5}{8}$

Sekarang, jarak dari A ke CT adalah AP, di mana P pada CT. Dalam segitiga ACP, $\angle CAP = \alpha$. AP = AC * sin($\alpha$).
Kita perlu mencari sin($\alpha$). Dari $\text{cos}(\alpha) = \frac{5}{8}$, kita bisa membuat segitiga siku-siku dengan sisi samping 5 dan sisi miring 8. Sisi depan adalah $\sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$. Jadi, $\text{sin}(\alpha) = \frac{\sqrt{39}}{8}$.

AP = $12\sqrt{2} 	imes \frac{\sqrt{39}}{8} = \frac{12\sqrt{78}}{8} = \frac{3\sqrt{78}}{2}$ cm.

Perlu diperhatikan bahwa soal menyatakan "Jarak antara titik A dengan garis CT adalah ..... 12 cm". Ini sepertinya memberikan jawaban langsung atau ada informasi yang kurang tepat dalam soal.

Jika kita asumsikan panjang rusuk adalah 12 cm, dan kita perlu mencari jaraknya, perhitungan di atas memberikan $\frac{3\sqrt{78}}{2}$ cm. Jika jawabannya memang 12 cm, maka ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda atau soal tersebut salah.

Namun, jika yang dimaksud adalah jarak titik A ke garis AC' di mana C' adalah proyeksi T pada bidang alas, ini juga berbeda.

Mari kita cek ulang perhitungan CT. T adalah titik tengah EG. CT merupakan garis pada bidang diagonal ACEG. ACEG adalah persegi panjang. AG = $12\sqrt{3}$. AE = 12. CE = $12\sqrt{2}$. T adalah perpotongan EG dan FH. T adalah pusat bidang EFGH.

Mari kita gunakan sistem koordinat. A = (0,0,0), B = (12,0,0), D = (0,12,0), E = (0,0,12), C = (12,12,0), F = (12,0,12), G = (12,12,12), H = (0,12,12).

Titik T adalah perpotongan EG dan FH. 
EG: E=(0,0,12), G=(12,12,12). Garis EG: $(0,0,12) + t(12,12,0) = (12t, 12t, 12)$.
FH: F=(12,0,12), H=(0,12,12). Garis FH: $(12,0,12) + s(-12,12,0) = (12-12s, 12s, 12)$.
Untuk perpotongan, $12t = 12-12s \implies t = 1-s$. $12t = 12s \implies t = s$. Maka $s = 1-s \implies 2s = 1 \implies s = 0.5$. $t = 0.5$. 
Jadi T = (12*0.5, 12*0.5, 12) = (6, 6, 12).

Sekarang kita cari jarak dari A=(0,0,0) ke garis CT. 
C = (12,12,0), T = (6,6,12).

Garis CT dapat direpresentasikan sebagai $C + r(T-C) = (12,12,0) + r((6,6,12) - (12,12,0)) = (12,12,0) + r(-6,-6,12) = (12-6r, 12-6r, 12r)$.

Misalkan P adalah titik pada garis CT yang terdekat dengan A. Vektor AP tegak lurus dengan vektor arah garis CT, yaitu T-C = (-6, -6, 12).
$AP = (12-6r, 12-6r, 12r) - (0,0,0) = (12-6r, 12-6r, 12r)$.

$AP \\\cdot (T-C) = 0$
$(12-6r, 12-6r, 12r) \\cdot (-6,-6,12) = 0$
$-6(12-6r) - 6(12-6r) + 12(12r) = 0$
$-72 + 36r - 72 + 36r + 144r = 0$
$-144 + 72r + 144r = 0$
$-144 + 216r = 0$
$216r = 144$
$r = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}$

Sekarang kita cari titik P: 
P = $(12 - 6(\frac{2}{3}), 12 - 6(\frac{2}{3}), 12(\frac{2}{3})) = (12 - 4, 12 - 4, 8) = (8, 8, 8)$.

Jarak AP adalah panjang vektor AP.
$AP = \sqrt{(8-0)^2 + (8-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{8^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{3 	imes 64} = 8\sqrt{3}$ cm.

Jika panjang rusuk kubus adalah 12 cm, maka jarak titik A ke garis CT adalah $8\sqrt{3}$ cm. Namun, soal menyertakan "Jarak antara titik A dengan garis CT adalah ..... 12 cm". Ini mungkin adalah informasi yang diberikan atau sebuah pertanyaan lain.

Asumsi jika yang dimaksud adalah Jarak titik A ke garis CG (salah baca dari soal):
Jika jaraknya adalah dari A ke garis CG, karena CG tegak lurus bidang ABCD, maka jarak A ke garis CG adalah panjang AC atau AD atau AB, yaitu 12 cm. Tapi soalnya adalah CT.

Jika soalnya adalah jarak titik A ke bidang CDHG, maka jaraknya adalah 12 cm (panjang AD).

Jika memang jawabannya adalah 12 cm, mungkin ada kesalahan penulisan soal atau ada informasi tambahan yang hilang. Berdasarkan perhitungan geometris dan koordinat, jaraknya bukan 12 cm jika panjang rusuk adalah 12 cm.