Pada interval -1<x<4 maka grafik fungsi y=(1/3)x^3-x^2-3x+1

Menurun dari x=-1 ke x=3, lalu menaik dari x=3 ke x=4.

Pembahasan

Untuk menganalisis perilaku grafik fungsi y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + 1 pada interval -1 < x < 4, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut untuk menentukan titik stasioner (maksimum atau minimum lokal) dan menganalisis naik turunnya fungsi.

1. Cari turunan pertama (y'):
   y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2 - 3x + 1]
   y' = x^2 - 2x - 3

2. Tentukan titik stasioner dengan menyetel y' = 0:
   x^2 - 2x - 3 = 0
   (x - 3)(x + 1) = 0
   Titik stasioner terjadi pada x = 3 dan x = -1.

3. Analisis naik turunnya fungsi menggunakan turunan kedua atau uji interval:
   Mari kita gunakan uji interval pada turunan pertama:
   - Untuk x < -1 (misal x = -2): y' = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (positif, fungsi naik)
   - Untuk -1 < x < 3 (misal x = 0): y' = (0)^2 - 2(0) - 3 = -3 (negatif, fungsi turun)
   - Untuk x > 3 (misal x = 4): y' = (4)^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (positif, fungsi naik)

4. Evaluasi fungsi pada batas interval dan titik stasioner dalam interval:
   Interval yang diberikan adalah -1 < x < 4.
   Titik stasioner yang relevan dalam interval ini adalah x = 3 (karena x = -1 adalah batas interval).

   - Nilai fungsi di titik stasioner x = -1 (batas kiri):
     y = (1/3)(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1/3 - 1 + 3 + 1 = 8/3
   - Nilai fungsi di titik stasioner x = 3:
     y = (1/3)(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 1 = (1/3)(27) - 9 - 9 + 1 = 9 - 9 - 9 + 1 = -8
   - Nilai fungsi di batas kanan x = 4:
     y = (1/3)(4)^3 - (4)^2 - 3(4) + 1 = (1/3)(64) - 16 - 12 + 1 = 64/3 - 27 = 64/3 - 81/3 = -17/3

Kesimpulan berdasarkan analisis:
- Di interval -1 < x < 3, fungsi y' bernilai negatif, yang berarti grafik fungsi y menurun.
- Di interval 3 < x < 4, fungsi y' bernilai positif, yang berarti grafik fungsi y menaik.

Jadi, pada interval -1 < x < 4, grafik fungsi akan menurun dari x = -1 hingga x = 3, kemudian menaik dari x = 3 hingga x = 4.