Tentukan nilai sehingga a dan b sehingga

a=6, b=2

Pembahasan

Agar polinomial $x^4-ax^3-(6a+5b)x^2+abx+144$ habis dibagi oleh $x^2+6x+8$, maka sisa pembagiannya harus nol. Pertama, kita faktorkan pembagi $x^2+6x+8$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 8 dan jika dijumlahkan hasilnya 6. Bilangan tersebut adalah 2 dan 4. Jadi, $x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)$.

Karena polinomial tersebut habis dibagi oleh $(x+2)(x+4)$, maka polinomial tersebut juga habis dibagi oleh $(x+2)$ dan $(x+4)$. Ini berarti akar-akar dari $(x+2)(x+4)=0$, yaitu $x=-2$ dan $x=-4$, adalah akar-akar dari polinomial $x^4-ax^3-(6a+5b)x^2+abx+144$.

Menurut Teorema Sisa, jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $(x-k)$, maka sisanya adalah $P(k)$. Karena polinomial habis dibagi, maka $P(-2)=0$ dan $P(-4)=0$.

Substitusikan $x=-2$ ke dalam polinomial:
$P(-2) = (-2)^4 - a(-2)^3 - (6a+5b)(-2)^2 + ab(-2) + 144 = 0$
$16 - a(-8) - (6a+5b)(4) - 2ab + 144 = 0$
$16 + 8a - (24a + 20b) - 2ab + 144 = 0$
$16 + 8a - 24a - 20b - 2ab + 144 = 0$
$-16a - 20b - 2ab + 160 = 0$
Bagi dengan -2:
$8a + 10b + ab - 80 = 0$  (Persamaan 1)

Substitusikan $x=-4$ ke dalam polinomial:
$P(-4) = (-4)^4 - a(-4)^3 - (6a+5b)(-4)^2 + ab(-4) + 144 = 0$
$256 - a(-64) - (6a+5b)(16) - 4ab + 144 = 0$
$256 + 64a - (96a + 80b) - 4ab + 144 = 0$
$256 + 64a - 96a - 80b - 4ab + 144 = 0$
$-32a - 80b - 4ab + 400 = 0$
Bagi dengan -4:
$8a + 20b + ab - 100 = 0$  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel a dan b:
1) $8a + 10b + ab - 80 = 0$
2) $8a + 20b + ab - 100 = 0$

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(8a + 20b + ab - 100) - (8a + 10b + ab - 80) = 0$
$8a + 20b + ab - 100 - 8a - 10b - ab + 80 = 0$
$10b - 20 = 0$
$10b = 20$
$b = 2$

Substitusikan nilai $b=2$ ke dalam Persamaan 1:
$8a + 10(2) + a(2) - 80 = 0$
$8a + 20 + 2a - 80 = 0$
$10a - 60 = 0$
$10a = 60$
$a = 6$

Jadi, nilai a = 6 dan b = 2.