Diberikan kubus K L M N . O P Q R , dengan panjang rusuk 30

Jarak titik C ke bidang OABR adalah 3√5 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik C ke bidang OABR pada kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 30 cm, di mana C adalah titik potong diagonal OQ dan PR, serta A dan B adalah titik tengah rusuk KL dan MN, kita perlu menganalisis geometri kubus.

1.  **Visualisasi Kubus dan Titik C:**
    Kubus KLMN.OPQR memiliki alas KLMN dan atas OPQR. Rusuknya 30 cm.
    Titik C adalah perpotongan diagonal OQ dan PR. Dalam kubus, diagonal ruang OQ dan PR berpotongan di pusat kubus. Jadi, C adalah pusat kubus.

2.  **Bidang OABR:**
    Bidang OABR dibentuk oleh titik O (salah satu sudut alas), A (titik tengah rusuk KL), B (titik tengah rusuk MN), dan R (salah satu sudut atas).
    Untuk mempermudah, kita bisa menempatkan kubus pada sistem koordinat Kartesius.
    Misalkan K=(0,0,0), L=(30,0,0), M=(30,30,0), N=(0,30,0).
    Maka O=(0,0,30), P=(30,0,30), Q=(30,30,30), R=(0,30,30).
    Titik C (pusat kubus) adalah (15,15,15).
    Titik O = (0,0,30).
    Titik A adalah titik tengah KL. K=(0,0,0), L=(30,0,0), maka A = (15,0,0).
    Titik B adalah titik tengah MN. M=(30,30,0), N=(0,30,0), maka B = (15,30,0).
    Titik R = (0,30,30).

3.  **Persamaan Bidang OABR:**
    Kita memiliki empat titik yang mendefinisikan bidang: O(0,0,30), A(15,0,0), B(15,30,0), R(0,30,30).
    Kita bisa mencari vektor normal bidang ini. Ambil vektor OA = (15, 0, -30) dan vektor OB = (15, 30, -30).
    Vektor normal (N) = OA x OB
    N =  | i   j   k  |
        | 15  0  -30 |
        | 15 30  -30 |
    N = i(0 - (-900)) - j(-450 - (-450)) + k(450 - 0)
    N = 900i - 0j + 450k = (900, 0, 450).
    Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (2, 0, 1).
    Persamaan bidang melalui O(0,0,30) dengan normal (2,0,1) adalah:
    2(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - 30) = 0
    2x + z - 30 = 0
    atau 2x + z = 30.

4.  **Jarak Titik C ke Bidang:**
    Titik C adalah (15,15,15).
    Persamaan bidang adalah 2x + z - 30 = 0.
    Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
    Jarak = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
    Di sini, (x_0, y_0, z_0) = (15,15,15) dan bidangnya adalah 2x + 0y + 1z - 30 = 0.
    A=2, B=0, C=1, D=-30.
    Jarak = |2(15) + 0(15) + 1(15) - 30| / sqrt(2^2 + 0^2 + 1^2)
    Jarak = |30 + 0 + 15 - 30| / sqrt(4 + 0 + 1)
    Jarak = |15| / sqrt(5)
    Jarak = 15 / sqrt(5)
    Jarak = (15 * sqrt(5)) / 5
    Jarak = 3 * sqrt(5) cm.

**Kesimpulan:** Jarak titik C ke bidang OABR adalah 3√5 cm.