lim x->pi/2 (sin(x-pi/4)-1/2 akar(2))/(cos(x-pi/4)-1/2

Nilai limitnya adalah -1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan \(x = \pi/2\) ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \(0/0\).

Fungsi yang diberikan adalah: 
\(\lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin(x-\pi/4) - 1/2 \sqrt{2}}{\cos(x-\pi/4) - 1/2 \sqrt{2}}\)

Langkah 1: Periksa apakah substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu.
Jika \(x = \pi/2\), maka \(x - \pi/4 = \pi/2 - \pi/4 = \pi/4\).

Sinus dari \(\pi/4\) adalah \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) atau \(1/2 \sqrt{2}\).
Kosinus dari \(\pi/4\) adalah \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) atau \(1/2 \sqrt{2}\).

Maka, pembilang menjadi: \(\sin(\pi/4) - 1/2 \sqrt{2} = 1/2 \sqrt{2} - 1/2 \sqrt{2} = 0\).
Dan penyebut menjadi: \(\cos(\pi/4) - 1/2 \sqrt{2} = 1/2 \sqrt{2} - 1/2 \sqrt{2} = 0\).

Karena kita mendapatkan bentuk \(0/0\), kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital.

Langkah 2: Terapkan aturan L'Hôpital.
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika \(\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}\) adalah bentuk \(0/0\) atau \(\infty/\infty\), maka \(\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 
dengan asumsi limit di sisi kanan ada.

Turunan dari pembilang \(f(x) = \sin(x-\pi/4) - 1/2 \sqrt{2}\) adalah \(f'(x) = \cos(x-\pi/4) \cdot 1 = \cos(x-\pi/4)\).
Turunan dari penyebut \(g(x) = \cos(x-\pi/4) - 1/2 \sqrt{2}\) adalah \(g'(x) = -\sin(x-\pi/4) \cdot 1 = -\sin(x-\pi/4)\).

Langkah 3: Hitung limit dari turunan.
\(\lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos(x-\pi/4)}{-\sin(x-\pi/4)}\)

Substitusikan \(x = \pi/2\) lagi:
\(\frac{\cos(\pi/2-\pi/4)}{-\sin(\pi/2-\pi/4)} = \frac{\cos(\pi/4)}{-\sin(\pi/4)}\)

\(\frac{1/2 \sqrt{2}}{-(1/2 \sqrt{2})} = \frac{1/2 \sqrt{2}}{-1/2 \sqrt{2}} = -1\)

Jadi, nilai limitnya adalah -1.