Pada kubus PORS.TUVW, garis yang tegak lurus terhadap

Garis TV

Pembahasan

Pada kubus PORS.TUVW, bidang QSWU dibentuk oleh titik-titik Q, S, W, dan U. Garis-garis yang tegak lurus terhadap bidang ini adalah garis yang sejajar dengan vektor normal bidang tersebut.

Mari kita tentukan koordinat titik-titik kubus dengan asumsi panjang rusuknya adalah 'a' dan P berada di titik asal (0,0,0).
P(0,0,0), Q(a,0,0), R(a,a,0), S(0,a,0)
T(0,0,a), U(0,a,a), V(a,a,a), W(a,0,a)

Bidang QSWU dibentuk oleh titik Q(a,0,0), S(0,a,0), W(a,0,a), U(0,a,a).
Untuk mencari vektor normal bidang, kita bisa mengambil dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya vektor QS dan vektor QW.

Vektor QS = S - Q = (0,a,0) - (a,0,0) = (-a, a, 0)
Vektor QW = W - Q = (a,0,a) - (a,0,0) = (0, 0, a)

Vektor normal bidang adalah hasil perkalian silang (cross product) dari vektor QS dan QW:
Normal = QS x QW = | i  j  k |
                 | -a a  0 |
                 |  0 0  a |
         = i(a*a - 0*0) - j(-a*a - 0*0) + k(-a*0 - a*0)
         = i(a^2) - j(-a^2) + k(0)
         = (a^2, a^2, 0)

Garis yang tegak lurus terhadap bidang QSWU harus sejajar dengan vektor normal (a^2, a^2, 0). Ini berarti arah dari garis tersebut harus memiliki komponen y yang sama dengan komponen x, dan komponen z adalah nol. 

Mari kita periksa rusuk-rusuk kubus:
PQ: (a,0,0) - (0,0,0) = (a,0,0)
PS: (0,a,0) - (0,0,0) = (0,a,0)
P T: (0,0,a) - (0,0,0) = (0,0,a)
QR: (a,a,0) - (a,0,0) = (0,a,0)
RS: (0,a,0) - (a,a,0) = (-a,0,0)
SW: (a,0,a) - (0,a,0) = (a,-a,a)
WU: (0,a,a) - (a,0,a) = (-a,a,0)
UV: (a,a,a) - (0,a,a) = (a,0,0)
TW: (a,0,a) - (0,0,a) = (a,0,0)

Garis PV memiliki vektor arah V - P = (a,a,a) - (0,0,0) = (a,a,a).

Garis PW memiliki vektor arah W - P = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a).

Garis QU memiliki vektor arah U - Q = (0,a,a) - (a,0,0) = (-a,a,a).

Garis QT memiliki vektor arah T - Q = (0,0,a) - (a,0,0) = (-a,0,a).

Garis RV memiliki vektor arah V - R = (a,a,a) - (a,a,0) = (0,0,a).

Garis RU memiliki vektor arah U - R = (0,a,a) - (a,a,0) = (-a,0,a).

Garis SW memiliki vektor arah W - S = (a,0,a) - (0,a,0) = (a,-a,a).

Garis UW memiliki vektor arah W - U = (a,0,a) - (0,a,a) = (a,-a,0).

Garis VW memiliki vektor arah W - V = (a,0,a) - (a,a,a) = (0,-a,0).

Garis TV memiliki vektor arah V - T = (a,a,a) - (0,0,a) = (a,a,0).

Kembali ke vektor normal bidang QSWU = (a^2, a^2, 0).
Kita mencari garis yang vektor arahnya proporsional dengan (1,1,0).

Perhatikan garis TV. Vektor arahnya adalah (a,a,0), yang proporsional dengan (1,1,0). 
Jadi, garis TV tegak lurus terhadap bidang QSWU.