Pada layang-layang di samping ini, sudut TPQ = 40 dan sudut

85 derajat.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat-sifat layang-layang dan jumlah sudut dalam segitiga.

Diketahui:
Dalam layang-layang PQRS (dengan diagonal berpotongan di T):
Sudut TPQ = 40°
Sudut TRS = 55°

Sifat-sifat layang-layang:
1. Sepasang sisi yang berhadapan sama panjang (PQ = PS dan QR = SR).
2. Dua diagonalnya tegak lurus (PR ⊥ QS).
3. Salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonal yang lain (misalnya, QS membagi PR).
4. Salah satu diagonalnya membagi dua sama besar sudut-sudut yang berhadapan (diagonal PR membagi sudut P dan sudut R).
5. Sudut-sudut yang berhadapan tidak sama besar, kecuali sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang sama panjang (sudut PQR = sudut PSR).

Pada layang-layang, diagonalnya berpotongan tegak lurus. Jadi, di titik T, sudut PTQ, QTT, TRS, dan SRT semuanya adalah 90 derajat.

Kita perlu mencari besar sudut PQR.
Sudut PQR terdiri dari sudut PQT dan sudut RQT.

Perhatikan segitiga PTQ. Sudut PTQ = 90° (karena diagonal tegak lurus).
Sudut TPQ = 40°.
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, maka:
Sudut PQT = 180° - 90° - 40° = 50°.

Perhatikan segitiga TRS. Sudut TRS = 55°. Sudut TSR = 90° (karena diagonal tegak lurus).
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, maka:
Sudut TSR = 180° - 90° - 55° = 35°.

Karena layang-layang memiliki simetri pada salah satu diagonalnya (diagonal PR membagi sudut P dan R sama besar), maka:
Sudut QPS = 2 × Sudut TPQ = 2 × 40° = 80°.
Sudut QRS = 2 × Sudut TRS = 2 × 55° = 110°.

Sekarang kita perlu mencari sudut PQR. Sudut PQR dan sudut PSR adalah sudut yang berhadapan dan memiliki besar yang sama pada layang-layang (jika kedua pasang sisi berdekatan sama panjang, atau jika diagonalnya membagi dua sama besar sudut yang dibentuknya).

Namun, berdasarkan gambar yang diberikan (P T N Q S R), tampaknya T adalah perpotongan diagonal PR dan QS. Sudut TPQ = 40°. Sudut TRS = 55°.
Dalam segitiga PTQ, sudut PTQ = 90°. Sudut PQT = 180 - 90 - 40 = 50°.
Dalam segitiga TRS, sudut TRS = 55°. Sudut RTS = 90°. Sudut RST = 180 - 90 - 55 = 35°.

Karena layang-layang memiliki sifat simetri, maka:
Sudut PQS = Sudut PSR
Sudut QPS = Sudut QRS

Dalam layang-layang PQRS, diagonal PR tegak lurus diagonal QS di T.
Sudut TPQ = 40°.
Sudut TRS = 55°.

Pada segitiga PTQ, sudut PQT = 180° - 90° - 40° = 50°.
Pada segitiga RST, sudut RST = 180° - 90° - 55° = 35°.

Perhatikan layang-layang PQRS.
Sudut-sudut pada layang-layang adalah:
Sudut P = Sudut TPQ + Sudut SPT
Sudut Q = Sudut PQT + Sudut RQT
Sudut R = Sudut TRS + Sudut QRS
Sudut S = Sudut PST + Sudut QST

Dalam layang-layang, sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang sama panjang adalah sama. Maka, sudut PQR = sudut PSR.

Dari segitiga PTQ, kita dapatkan sudut PQT = 50°.
Dari segitiga RST, kita dapatkan sudut RST = 35°.

Karena layang-layang memiliki simetri pada diagonal PR, maka sudut QPS = 2 * sudut TPQ = 2 * 40° = 80°.
Dan sudut QRS = 2 * sudut TRS = 2 * 55° = 110°.

Jumlah sudut dalam segiempat adalah 360°.
Sudut P + Sudut Q + Sudut R + Sudut S = 360°
80° + Sudut Q + 110° + Sudut S = 360°
Sudut Q + Sudut S = 360° - 80° - 110° = 170°.

Pada layang-layang, sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang sama panjang adalah sama besar. Maka Sudut PQR = Sudut PSR.
Jadi, 2 * Sudut PQR = 170°
Sudut PQR = 170° / 2 = 85°.

Namun, jika kita melihat pada gambar, S P T N Q R. Asumsi T adalah perpotongan diagonal. N adalah titik pada diagonal PR.
TPQ = 40. TRS = 55. Cari PQR.

Jika P, T, N, R segaris (diagonal PR) dan Q, T, S segaris (diagonal QS).
Dalam segitiga PTQ:
Sudut PTQ = 90°
Sudut TPQ = 40°
Sudut PQT = 180° - 90° - 40° = 50°.

Dalam segitiga TRS:
Sudut TRS = 55°
Sudut TSR = 180° - 90° - 55° = 35°.

Pada layang-layang, salah satu diagonalnya (misal PR) membagi dua sama besar sudut-sudut yang di ujungnya (sudut P dan sudut R). Sehingga sudut QPS = 2 * sudut TPQ dan sudut QRS = 2 * sudut TRS.

Sudut QPS = 2 * 40° = 80°.
Sudut QRS = 2 * 55° = 110°.

Dalam layang-layang, dua sudut yang tidak diapit oleh sisi yang sama panjang adalah sama besar. Jadi sudut PQR = sudut PSR.

Jumlah sudut dalam segiempat adalah 360°.
Sudut P + Sudut Q + Sudut R + Sudut S = 360°
80° + Sudut PQR + 110° + Sudut PSR = 360°
Karena Sudut PQR = Sudut PSR:
80° + 2 * Sudut PQR + 110° = 360°
190° + 2 * Sudut PQR = 360°
2 * Sudut PQR = 360° - 190°
2 * Sudut PQR = 170°
Sudut PQR = 85°.

Jadi, besar sudut PQR adalah 85 derajat.