Pada segitiga A B C , garis tinggi dari A memotong BC di

12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan beberapa konsep trigonometri dan geometri.

Diketahui:
- Segitiga ABC
- AD adalah garis tinggi dari A ke BC, sehingga sudut ADB = 90 derajat.
- Sudut BAC = $\alpha$
- Sudut ABC = $\beta$
- sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5
- AC = 15

Ditanya: CD

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Dalam segitiga ABC, jumlah sudutnya adalah 180 derajat. Jadi, sudut ACB = 180 - sudut BAC - sudut ABC = 180 - $\alpha$ - $\beta$.
2. Kita tahu bahwa sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5. Dalam segitiga ABC, sudut ACB adalah pelurus dari sudut ACD (jika D terletak di antara B dan C). Namun, AD adalah garis tinggi, jadi D bisa berada di luar segmen BC. Asumsikan D berada di antara B dan C.
3. Dalam segitiga ADC, sudut ADC = 90 derajat. Kita tahu sudut ACD = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).
4. Kita diberikan sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5. Maka, sin(sudut ACB) = sin(180 - ($\alpha$ + $\beta$)) = sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5.
5. Dalam segitiga ADC yang siku-siku di D, kita memiliki:
sin(sudut ACD) = AD / AC
cos(sudut ACD) = CD / AC
tan(sudut ACD) = AD / CD

6. Kita perlu mencari nilai sin(sudut ACD) atau cos(sudut ACD). Kita tahu sin(sudut ACB) = 3/5. Jika sudut ACB = $\gamma$, maka sin($\gamma$) = 3/5. Dari sini, kita bisa mencari cos($\gamma$) menggunakan identitas $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Karena $\gamma$ adalah sudut segitiga, maka cos($\gamma$) akan positif jika $\gamma$ lancip, atau negatif jika $\gamma$ tumpul. Namun, dalam konteks soal ini, kita perlu hati-hati.

Mari kita gunakan informasi bahwa sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5. Ini berarti $\alpha$ + $\beta$ adalah sudut di segitiga ABC. Sudut ACB = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).

Jika sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5, maka kita bisa membentuk segitiga siku-siku dengan sisi depan 3 dan sisi miring 5, sehingga sisi sampingnya adalah $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Jadi, cos($\alpha$ + $\beta$) = 4/5 (mengasumsikan $\alpha$ + $\beta$ lancip).

Sekarang, sudut ACB = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).
cos(sudut ACB) = cos(180 - ($\alpha$ + $\beta$)) = -cos($\alpha$ + $\beta$) = -4/5.

Dalam segitiga ADC yang siku-siku di D:
cos(sudut ACD) = CD / AC
Karena sudut ACD sama dengan sudut ACB (jika D di antara B dan C, atau sudut ACB adalah sudut luar dari segitiga ADC), maka cos(sudut ACD) = cos(sudut ACB) = -4/5.

CD / 15 = -4/5
CD = 15 * (-4/5)
CD = -12

Nilai CD tidak bisa negatif. Ini menunjukkan bahwa asumsi kita tentang posisi D atau sudut mungkin perlu ditinjau ulang.

Mari kita periksa kembali:
sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5. Ini berarti $\alpha$ + $\beta$ bisa lancip atau tumpul. Jika $\alpha$ + $\beta$ lancip, cos($\alpha$ + $\beta$) = 4/5. Jika $\alpha$ + $\beta$ tumpul, cos($\alpha$ + $\beta$) = -4/5.

Sudut ACB = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).
Jika $\alpha$ + $\beta$ lancip, maka ACB tumpul, dan cos(ACB) = -4/5.
Jika $\alpha$ + $\beta$ tumpul, maka ACB lancip, dan cos(ACB) = 4/5.

Dalam segitiga ADC siku-siku di D:
CD = AC * cos(sudut ACD).
Sudut ACD adalah sudut ACB.

Kasus 1: $\alpha$ + $\beta$ lancip. Maka sudut ACB tumpul. cos(ACB) = -4/5.
CD = 15 * (-4/5) = -12. (Tidak mungkin)

Kasus 2: $\alpha$ + $\beta$ tumpul. Maka sudut ACB lancip. cos(ACB) = 4/5.
CD = 15 * (4/5) = 12.

Jadi, CD = 12.

Penjelasan Alternatif menggunakan Aturan Sinus:
Dalam segitiga ABC, kita punya sudut B = $\beta$, sudut A = $\alpha$. Sudut C = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).

Dalam segitiga ABD siku-siku di D:
AD = AB * sin($\beta$)
BD = AB * cos($\beta$)

Dalam segitiga ADC siku-siku di D:
AD = AC * sin(sudut ACD)
CD = AC * cos(sudut ACD)

Kita tahu sudut ACD = sudut ACB = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).
sin(sudut ACD) = sin(180 - ($\alpha$ + $\beta$)) = sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5.
cos(sudut ACD) = cos(180 - ($\alpha$ + $\beta$)) = -cos($\alpha$ + $\beta$).

Jika sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5, maka cos($\alpha$ + $\beta$) = $\pm 4/5$.

AD = AC * sin(sudut ACD) = 15 * (3/5) = 9.

Sekarang kita perlu mencari cos(sudut ACD). Ini tergantung pada apakah sudut ACD (yaitu sudut ACB) lancip atau tumpul.

Perhatikan bahwa di segitiga ABD, sudut BAD = 90 - $\beta$. Sudut BAC = $\alpha$. Jadi, sudut CAD = $\alpha$ - (90 - $\beta$) atau (90 - $\beta$) - $\alpha$. Ini rumit.

Mari kita kembali ke CD = AC * cos(sudut ACD).
CD = 15 * cos(sudut ACB).
Kita tahu sin($\alpha$ + $\beta$) = 3/5. Maka cos($\alpha$ + $\beta$) = $\pm 4/5$.
Sudut ACB = 180 - ($\alpha$ + $\beta$).
cos(ACB) = cos(180 - ($\alpha$ + $\beta$)) = -cos($\alpha$ + $\beta$).
Jadi, cos(ACB) = -($\pm 4/5$) = $\mp 4/5$.

Jika cos(ACB) = -4/5, maka CD = 15 * (-4/5) = -12. (Tidak mungkin)
Jika cos(ACB) = 4/5, maka CD = 15 * (4/5) = 12.

Jadi, nilai CD adalah 12.