Pada segitiga ABC diketahui besar sudut ABC=60, CT garis

2p√6/3

Pembahasan

Perhatikan segitiga ABC, diketahui sudut ABC = 60 derajat. CT adalah garis tinggi dari titik C, sehingga sudut CTA = 90 derajat. Panjang AC = p√3 dan AT = p. Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC.

Dalam segitiga ATC, berlaku aturan Pythagoras: AC^2 = AT^2 + CT^2
(p√3)^2 = p^2 + CT^2
3p^2 = p^2 + CT^2
CT^2 = 2p^2
CT = p√2

Sekarang perhatikan segitiga BTC. Sudut BTC = 90 derajat.
Kita memiliki BC^2 = BT^2 + CT^2
Kita juga tahu BT = AB - AT. Namun, kita belum tahu AB.

Mari kita gunakan informasi sudut ABC = 60 derajat. Pada segitiga BTC, kita bisa menggunakan relasi trigonometri:
cos(ABC) = BC / BT  (ini salah, cos seharusnya sisi samping/sisi miring)
cos(60) = BT / BC
1/2 = BT / BC
BC = 2 * BT

Kita juga bisa menggunakan tangen pada segitiga ATC:
tan(ACT) = AT / CT = p / (p√2) = 1/√2

Atau, mari kita coba pendekatan lain. Gunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
AC / sin(ABC) = BC / sin(BAC)
p√3 / sin(60) = BC / sin(BAC)
p√3 / (√3/2) = BC / sin(BAC)
2p = BC / sin(BAC)
BC = 2p * sin(BAC)

Kita perlu mencari sudut BAC. Pada segitiga ATC, cos(BAC) = AT / AC = p / (p√3) = 1/√3.
Ini berarti BAC = arccos(1/√3). Ini bukan sudut istimewa.

Mari kita kembali ke segitiga ABC dan gunakan aturan kosinus:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ABC)
(p√3)^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(60)
3p^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * (1/2)
3p^2 = AB^2 + BC^2 - AB * BC

Kita tahu BC = 2 * BT dan AB = AT + BT = p + BT.
Jadi, BC = 2 * (AB - p) = 2AB - 2p.

Ganti BC dalam persamaan:
3p^2 = AB^2 + (2AB - 2p)^2 - AB * (2AB - 2p)
3p^2 = AB^2 + (4AB^2 - 8ABp + 4p^2) - (2AB^2 - 2ABp)
3p^2 = AB^2 + 4AB^2 - 8ABp + 4p^2 - 2AB^2 + 2ABp
3p^2 = 3AB^2 - 6ABp + 4p^2
0 = 3AB^2 - 6ABp + p^2

Gunakan rumus kuadrat untuk AB: AB = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a
AB = [6p ± √((-6p)^2 - 4 * 3 * p^2)] / (2 * 3)
AB = [6p ± √(36p^2 - 12p^2)] / 6
AB = [6p ± √(24p^2)] / 6
AB = [6p ± 2p√6] / 6
AB = p ± (p√6)/3

Karena AB harus lebih besar dari AT (p), kita ambil AB = p + (p√6)/3.

Sekarang kita cari BC:
BC = 2 * BT = 2 * (AB - p)
BC = 2 * (p + (p√6)/3 - p)
BC = 2 * (p√6)/3
BC = (2p√6)/3

Ada kesalahan dalam pemahaman soal atau perhitungan. Mari kita periksa kembali segitiga ATC. Jika AT = p dan AC = p√3, maka CT = √(AC^2 - AT^2) = √((p√3)^2 - p^2) = √(3p^2 - p^2) = √(2p^2) = p√2.

Pada segitiga BTC, sudut BTC = 90 derajat, sudut ABC = 60 derajat. Maka sudut BCT = 30 derajat.
Kita punya CT = p√2.
Dengan menggunakan relasi trigonometri pada segitiga BTC:
cos(BCT) = CT / BC
cos(30) = p√2 / BC
√3 / 2 = p√2 / BC
BC * √3 = 2 * p√2
BC = (2p√2) / √3
BC = (2p√6) / 3

Ini masih hasil yang sama. Mari kita periksa apakah ada cara yang lebih sederhana.

Jika sudut ABC = 60 derajat dan CT adalah garis tinggi, maka segitiga BTC adalah segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 60 derajat (sudut ABC). Sudut lainnya adalah 30 derajat (sudut BCT).
Dalam segitiga siku-siku BTC:
CT = BC * sin(60) = BC * (√3 / 2)
BT = BC * cos(60) = BC * (1 / 2)

Dari segitiga ATC yang siku-siku di T:
AC^2 = AT^2 + CT^2
(p√3)^2 = p^2 + CT^2
3p^2 = p^2 + CT^2
CT^2 = 2p^2
CT = p√2

Sekarang samakan nilai CT:
p√2 = BC * (√3 / 2)
BC = (2 * p√2) / √3
BC = (2p√6) / 3

Masih hasil yang sama. Mari kita cek kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal atau data yang diberikan.

Namun, jika kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan CT adalah garis tinggi dari B ke AC (bukan dari C ke AB), atau informasi lain.

Mari kita coba lain. Jika kita gunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
AC/sin(B) = BC/sin(A)
p√3 / sin(60) = BC / sin(A)
p√3 / (√3/2) = BC / sin(A)
2p = BC / sin(A)
BC = 2p sin(A)

Pada segitiga ATC siku-siku di T:
cos(A) = AT/AC = p / (p√3) = 1/√3
Jika cos(A) = 1/√3, maka sin(A) = √(1 - cos^2(A)) = √(1 - (1/√3)^2) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = √2/√3.

Maka, BC = 2p * (√2/√3) = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

Jika kita perhatikan soal ini lagi, dan jika ada kemungkinan bahwa segitiga ABC adalah siku-siku di C, maka CT akan sama dengan 0, yang tidak mungkin.

Mari kita telaah kembali hubungan antara sisi dan sudut pada segitiga ATC dan BTC.
Pada segitiga ATC, jika AT=p dan AC=p√3, dan sudut ATC=90, maka tan(A) = CT/AT = p√2/p = √2. Maka A = arctan(√2).
Pada segitiga BTC, sudut BTC=90, sudut ABC=60. Maka tan(B) = CT/BT. tan(60) = √3 = p√2 / BT. Maka BT = p√2/√3 = p√6/3.
AB = AT + BT = p + p√6/3.

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(60)
(p√3)^2 = (p + p√6/3)^2 + BC^2 - 2 (p + p√6/3) BC (1/2)
3p^2 = p^2(1 + √6/3)^2 + BC^2 - (p + p√6/3) BC
3p^2 = p^2(1 + 2√6/3 + 6/9) + BC^2 - p BC - (p√6/3) BC
3p^2 = p^2(1 + 2√6/3 + 2/3) + BC^2 - p BC - (p√6/3) BC
3p^2 = p^2(5/3 + 2√6/3) + BC^2 - p BC - (p√6/3) BC

Ini terlalu rumit dan tampaknya ada ketidaksesuaian dalam data soal atau ada cara penyelesaian yang lebih sederhana yang terlewat.

Mari kita coba asumsi lain. Jika sudut BAC = 30 derajat. Maka cos(30) = AT/AC = p/(p√3) = 1/√3, ini salah. Jika cos(30) = √3/2.

Jika sudut ACB = 90 derajat. Maka CT=0, tidak mungkin.

Mari kita fokus pada segitiga BTC. Sudut B=60, sudut T=90. Maka sudut C di segitiga BTC adalah 30. Kita punya CT = p√2. Dalam segitiga BTC: tan(60) = CT/BT => √3 = p√2/BT => BT = p√2/√3. sin(60) = CT/BC => √3/2 = p√2/BC => BC = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa soal mengacu pada segitiga siku-siku di C, dan CT adalah garis tinggi ke sisi miring AB. Dalam kasus ini, CT = (AC * BC) / AB.

Jika kita kembali ke soal asli dan data yang diberikan:
Segitiga ABC, sudut ABC=60, CT garis tinggi dari C ke AB. AC=p√3, AT=p.
Pada segitiga ATC siku-siku di T:
AC^2 = AT^2 + CT^2
(p√3)^2 = p^2 + CT^2
3p^2 = p^2 + CT^2
CT^2 = 2p^2 => CT = p√2.

Pada segitiga BTC siku-siku di T:
Sudut ABC = 60 derajat.
Kita bisa gunakan hubungan:
cos(60) = BT / BC  (Ini SALAH, cos 60 = BT/BC hanya jika sudut di C = 90)
Yang benar adalah:
cos(60) = Sisi samping / Sisi miring = BT / BC (Ini juga SALAH karena sudut ABC bukan sudut di segitiga siku-siku BTC)

Dalam segitiga BTC:
Sudut T = 90 derajat.
Sudut B = 60 derajat.
Sudut C (dalam segitiga BTC) = 180 - 90 - 60 = 30 derajat.

Maka kita punya:
CT = BC * sin(60)  (ini jika sudut C = 90, atau jika B = 90)
CT = BC * sin(ABC) jika segitiga ABC siku-siku di C. Tapi CT adalah garis tinggi.

Dalam segitiga BTC yang siku-siku di T:
CT = BC * sin(60) => p√2 = BC * (√3/2) => BC = 2p√2/√3 = 2p√6/3.
BT = BC * cos(60) => BT = BC * (1/2).

Dan pada segitiga ATC yang siku-siku di T:
AT = AC * cos(A) => p = p√3 * cos(A) => cos(A) = 1/√3.
CT = AC * sin(A) => p√2 = p√3 * sin(A) => sin(A) = √2/√3.

Sekarang perhatikan segitiga ABC. Sudut ABC = 60.
AB = AT + BT.
BT = BC * cos(60) = BC * (1/2).
AB = p + BC/2.

Gunakan aturan sinus pada segitiga ABC:
AC / sin(B) = BC / sin(A)
p√3 / sin(60) = BC / sin(A)
p√3 / (√3/2) = BC / (√2/√3)
2p = BC / (√2/√3)
BC = 2p * (√2/√3) = 2p√6/3.

Jawaban BC = 2p√6/3 tampaknya konsisten dari beberapa pendekatan, meskipun perhitungannya cukup rumit dan melibatkan akar.

Mari kita cek apakah ada kemungkinan nilai BC = 2p.
Jika BC = 2p, maka pada segitiga BTC (siku-siku di T, sudut B=60):
CT = BC * sin(60) = 2p * (√3/2) = p√3.
BT = BC * cos(60) = 2p * (1/2) = p.

Jika BT = p, dan AT = p, maka AB = AT + BT = p + p = 2p.
Sekarang cek segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2
AC^2 = p^2 + (p√3)^2
AC^2 = p^2 + 3p^2
AC^2 = 4p^2
AC = 2p.

Namun, di soal diberikan AC = p√3. Jadi BC = 2p bukan jawaban yang benar.

Mari kita periksa jika ada kemungkinan BC = p√3.
Jika BC = p√3, maka pada segitiga BTC (siku-siku di T, sudut B=60):
CT = BC * sin(60) = p√3 * (√3/2) = 3p/2.
BT = BC * cos(60) = p√3 * (1/2) = p√3/2.

Sekarang cek segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2
AC^2 = p^2 + (3p/2)^2
AC^2 = p^2 + 9p^2/4
AC^2 = (4p^2 + 9p^2)/4 = 13p^2/4
AC = p√13/2.

Ini juga tidak cocok dengan AC = p√3.

Mari kita periksa jika ada kemungkinan BC = p.
Jika BC = p, maka pada segitiga BTC (siku-siku di T, sudut B=60):
CT = BC * sin(60) = p * (√3/2) = p√3/2.
BT = BC * cos(60) = p * (1/2) = p/2.

Sekarang cek segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2
AC^2 = p^2 + (p√3/2)^2
AC^2 = p^2 + 3p^2/4
AC^2 = (4p^2 + 3p^2)/4 = 7p^2/4
AC = p√7/2.

Ini juga tidak cocok.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam data soal. Namun, berdasarkan perhitungan yang konsisten, BC = 2p√6/3.

Jika kita mengasumsikan AT adalah sisi samping pada segitiga ABC dan AC adalah sisi miring, dan sudut ABC=60, dan CT adalah tinggi.

Jika kita kembali ke segitiga ATC:
AC = p√3, AT = p, CT = p√2.
cos A = AT/AC = p / (p√3) = 1/√3.
sin A = CT/AC = p√2 / (p√3) = √2/√3.

Jika kita menggunakan aturan cosinus pada segitiga ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(60)
(p√3)^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC (1/2)
3p^2 = AB^2 + BC^2 - AB BC

Kita tahu AB = AT + BT = p + BT.
Dalam segitiga BTC:
BT = BC cos(60) => BT = BC/2
CT = BC sin(60) => p√2 = BC (√3/2) => BC = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

AB = p + (2p√6/3)/2 = p + p√6/3.

Substitusikan nilai AB dan BC ke aturan cosinus:
3p^2 = (p + p√6/3)^2 + (2p√6/3)^2 - (p + p√6/3)(2p√6/3)
3p^2 = p^2(1 + √6/3)^2 + (4p^2 * 6 / 9) - p(1 + √6/3)(2p√6/3)
3p^2 = p^2(1 + 2√6/3 + 6/9) + (24p^2/9) - (2p^2/3)(1 + √6/3)
3p^2 = p^2(1 + 2√6/3 + 2/3) + 8p^2/3 - (2p^2/3 + 2p^2√6/9)
3p^2 = p^2(5/3 + 2√6/3) + 8p^2/3 - 2p^2/3 - 2p^2√6/9
3p^2 = p^2(5/3 + 8/3 - 2/3) + p^2(2√6/3 - 2√6/9)
3p^2 = p^2(11/3) + p^2(6√6/9 - 2√6/9)
3p^2 = p^2(11/3) + p^2(4√6/9)
3 = 11/3 + 4√6/9
9 = 11 + 4√6/3
-2 = 4√6/3
-6 = 4√6
-3 = 2√6
9 = 4 * 6 = 24 (Ini salah)

Ada kemungkinan besar kesalahan pada soal. Namun, jika kita harus memilih jawaban berdasarkan data yang ada, dan jika ada pilihan jawaban yang tersedia, kita perlu mencocokkannya. Berdasarkan perhitungan berulang, BC = 2p√6/3.

Jika kita mengasumsikan segitiga ABC siku-siku di A, maka AT=0, yang tidak sesuai. Jika siku-siku di B, maka BT=0, AT=AB. Jika siku-siku di C, maka CT=0, tidak sesuai.

Mari kita coba lihat jika ada kemungkinan segitiga ABC sama kaki atau sama sisi, tapi tidak ada informasi tersebut.

Mungkin ada cara penyelesaian yang lebih elementer:
Pada segitiga ATC, dengan AT=p, AC=p√3, maka sudut A = 30 derajat (karena cos A = p/(p√3) = 1/√3, ini salah jika A=30, cos 30 = √3/2).
Jika sudut A = 60 derajat, maka AT = AC cos 60 = p√3 * 1/2 = p√3/2, ini salah.
Jika sudut A = 30 derajat, maka AT = AC cos 30 = p√3 * √3/2 = 3p/2, ini salah.

Dengan AT = p, AC = p√3, sudut ATC = 90, maka tan(A) = CT/AT = p√2/p = √2. A = arctan(√2).

Jika sudut ABC = 60, dan CT adalah garis tinggi.
Pada segitiga BTC, sudut T = 90, sudut B = 60.
BT = CT / tan(60) = p√2 / √3 = p√6/3.
BC = CT / sin(60) = p√2 / (√3/2) = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

Perhitungan ini konsisten. Jadi, panjang ruas garis BC adalah 2p√6/3.

Namun, mari kita lihat jika ada kemungkinan jawaban yang lebih sederhana seperti 2p atau p√3.

Jika BC = 2p:
BT = BC cos(60) = 2p * 1/2 = p.
CT = BC sin(60) = 2p * √3/2 = p√3.
Pada segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2 = p^2 + (p√3)^2 = p^2 + 3p^2 = 4p^2.
AC = 2p. (Tidak cocok dengan AC=p√3)

Jika BC = p√3:
BT = BC cos(60) = p√3 * 1/2 = p√3/2.
CT = BC sin(60) = p√3 * √3/2 = 3p/2.
Pada segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2 = p^2 + (3p/2)^2 = p^2 + 9p^2/4 = 13p^2/4.
AC = p√13/2. (Tidak cocok dengan AC=p√3)

Ada kemungkinan soal berasal dari sumber yang memiliki jawaban standar. Mari kita cari pola umum untuk soal geometri serupa.

Jika kita menganggap ada kesalahan penulisan dan AC = 2p, maka BC = 2p. Tapi AC = p√3.

Mari kita tinjau ulang segitiga ATC:
AT = p, AC = p√3, CT = p√2.
Ini adalah segitiga siku-siku. Rasio sisi adalah p : p√2 : p√3. Ini bukan rasio segitiga siku-siku yang umum (misal 1:√3:2 atau 1:1:√2).

Jika AT = p, CT = p, maka AC = p√2 (segitiga siku-siku sama kaki).
Jika AT = p, CT = p√3, maka AC = √(p^2 + 3p^2) = √4p^2 = 2p.
Jika AT = p, AC = 2p, maka CT = √(4p^2 - p^2) = √3p^2 = p√3.

Dalam kasus soal ini, AT=p, AC=p√3, CT=p√2. Perhatikan rasio AT:CT:AC = p : p√2 : p√3. Jika dikuadratkan menjadi p^2 : 2p^2 : 3p^2. Ini memenuhi p^2 + 2p^2 = 3p^2. Jadi, segitiga ATC adalah siku-siku di C jika AT^2 + CT^2 = AC^2. Namun, CT adalah garis tinggi dari C ke AB, jadi sudut ATC = 90 derajat.

Jadi, kita memiliki:
Segitiga ATC siku-siku di T: AT=p, CT=p√2, AC=p√3. AT^2 + CT^2 = p^2 + (p√2)^2 = p^2 + 2p^2 = 3p^2 = AC^2. Ini konsisten.

Segitiga BTC siku-siku di T: Sudut B=60.
Kita punya CT = p√2.
Dengan tan(60) = CT/BT => √3 = p√2 / BT => BT = p√2/√3 = p√6/3.
Dengan sin(60) = CT/BC => √3/2 = p√2 / BC => BC = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

Semua perhitungan mengarah pada BC = 2p√6/3. Namun, ini bukan jawaban yang umum ditemukan dalam soal-soal standar tanpa kalkulator.

Mari kita periksa kembali soalnya, ada kemungkinan kesalahan dalam pemahaman atau penulisan soal.

Jika kita asumsikan AC = 2p dan AT = p, maka CT = p√3. Maka cos A = AT/AC = p/2p = 1/2, jadi A = 60 derajat.
Jika A=60 dan B=60, maka C = 60 (segitiga sama sisi).
Jika segitiga sama sisi, maka AT harus = AB/2, dan CT adalah tinggi = AB√3/2. Ini tidak cocok.

Mari kita coba jawaban BC = p. Hasil perhitungan sebelumnya menunjukkan AC = p√7/2, tidak cocok.

Mari kita coba jawaban BC = p√2. Jika BC = p√2, maka BT = BC cos 60 = p√2 * 1/2 = p√2/2. CT = BC sin 60 = p√2 * √3/2 = p√6/2. Cek ATC: AC^2 = AT^2 + CT^2 = p^2 + (p√6/2)^2 = p^2 + 6p^2/4 = p^2 + 3p^2/2 = 5p^2/2. AC = p√5/√2 = p√10/2. Tidak cocok.

Kemungkinan besar ada kesalahan pada soal asli atau pilihan jawaban yang diberikan jika ini adalah soal pilihan ganda.

Jika kita mengabaikan soal #1 karena kerumitan atau kemungkinan kesalahan, mari kita lanjutkan ke soal berikutnya.

Namun, jika harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan yang paling konsisten:
Panjang ruas garis BC adalah 2p√6/3.

Perlu dicatat bahwa soal ini mungkin memiliki jawaban yang lebih sederhana jika ada interpretasi lain atau jika ada kesalahan penulisan data.

Jika kita menganggap bahwa AT = p dan CT = p, maka AC = p√2. Jika sudut ABC = 60 dan CT = p, maka BT = CT/tan(60) = p/√3. BC = CT/sin(60) = p/(√3/2) = 2p/√3 = 2p√3/3.

Jika kita berasumsi jawaban yang benar adalah BC = p√3.
BT = BC cos 60 = p√3 * 1/2 = p√3/2.
CT = BC sin 60 = p√3 * √3/2 = 3p/2.
AC^2 = AT^2 + CT^2 = p^2 + (3p/2)^2 = p^2 + 9p^2/4 = 13p^2/4.
AC = p√13/2. Tidak cocok.

Jika jawaban yang benar adalah BC = 2p.
BT = BC cos 60 = 2p * 1/2 = p.
CT = BC sin 60 = 2p * √3/2 = p√3.
AC^2 = AT^2 + CT^2 = p^2 + (p√3)^2 = p^2 + 3p^2 = 4p^2.
AC = 2p. Tidak cocok.

Kemungkinan besar data pada soal #1 tidak konsisten atau ada kesalahan penulisan.

Karena saya harus memberikan jawaban, dan perhitungan yang paling konsisten menghasilkan BC = 2p√6/3, namun ini bukan jawaban yang umum disajikan tanpa pilihan.

Jika kita melihat kembali AT = p, AC = p√3. Segitiga ATC siku-siku di T. Jika kita menganggap segitiga ABC siku-siku di A, maka BT=0, AB=AT=p. Maka CT=0, tidak mungkin.

Jika kita anggap sudut C pada segitiga ABC adalah 90 derajat, maka CT adalah tinggi ke hipotenusa. AB = AC cos B = AC / sin C (tidak relevan).

Mari kita berasumsi ada kesalahan dalam soal dan seharusnya AC = 2p. Maka BC = 2p.

Dengan data yang diberikan, dan perhitungan yang berulang, panjang BC = 2p√6/3. Karena ini soal QnA, saya akan memberikan jawaban ini.

Jawaban yang mungkin lebih sederhana bisa didapat jika ada informasi tambahan atau jika ada kesalahan pada data soal.

Jika kita mengabaikan data AT=p, dan hanya menggunakan AC=p√3 dan sudut B=60, CT garis tinggi.
Misal BC = x.
Dalam segitiga BTC:
CT = x sin 60 = x√3/2.
BT = x cos 60 = x/2.
Pada segitiga ATC:
AC^2 = AT^2 + CT^2
(p√3)^2 = AT^2 + (x√3/2)^2
3p^2 = AT^2 + 3x^2/4.

Kita tahu AB = AT + BT = AT + x/2.

Jika kita gunakan aturan sinus pada ABC:
AC/sin B = BC/sin A
p√3 / sin 60 = x / sin A
p√3 / (√3/2) = x / sin A
2p = x / sin A => sin A = x / 2p.

Dari segitiga ATC:
cos A = AT / AC = AT / (p√3).

Karena sin^2 A + cos^2 A = 1:
(x/2p)^2 + (AT / p√3)^2 = 1
x^2 / 4p^2 + AT^2 / 3p^2 = 1.

Kita punya 3p^2 = AT^2 + 3x^2/4 => AT^2 = 3p^2 - 3x^2/4.
Substitusikan AT^2:
x^2 / 4p^2 + (3p^2 - 3x^2/4) / 3p^2 = 1
x^2 / 4p^2 + 1 - x^2 / 4p^2 = 1.
1 = 1. Ini tidak membantu menemukan x (BC).

Kembali ke data asli: AT = p. Maka AB = p + x/2.
Dari segitiga ATC: AT = AC cos A => p = p√3 cos A => cos A = 1/√3.
Dari segitiga ABC: cos B = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC)
cos 60 = ((p + x/2)^2 + x^2 - (p√3)^2) / (2 (p + x/2) x)
1/2 = (p^2 + px + x^2/4 + x^2 - 3p^2) / (2px + x^2)
1/2 = (x^2(5/4) + px - 2p^2) / (2px + x^2)
2px + x^2 = 2(5x^2/4 + px - 2p^2)
2px + x^2 = 5x^2/2 + 2px - 4p^2
x^2 = 5x^2/2 - 4p^2
4p^2 = 5x^2/2 - x^2
4p^2 = 3x^2/2
8p^2 = 3x^2
x^2 = 8p^2/3
x = √(8p^2/3) = 2p√2/√3 = 2p√6/3.

Perhitungan ini konsisten dan tampaknya benar berdasarkan data yang diberikan, meskipun hasilnya tidak sederhana.

Finalisasi untuk Soal #1:
Jawaban panjang: Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga ABC dan sifat-sifat segitiga siku-siku ATC dan BTC yang terbentuk oleh garis tinggi CT, kita dapat menurunkan panjang BC. Diketahui AC = p√3, AT = p, dan sudut ABC = 60 derajat. Pada segitiga ATC yang siku-siku di T, CT^2 = AC^2 - AT^2 = (p√3)^2 - p^2 = 3p^2 - p^2 = 2p^2, sehingga CT = p√2. Pada segitiga BTC yang siku-siku di T dengan sudut ABC = 60 derajat, berlaku hubungan CT = BC sin(60) dan BT = BC cos(60). Mengganti nilai CT = p√2, kita dapatkan p√2 = BC (√3/2), sehingga BC = 2p√2/√3 = 2p√6/3. Juga, BT = BC/2 = (2p√6/3)/2 = p√6/3. AB = AT + BT = p + p√6/3. Memverifikasi dengan aturan cosinus pada segitiga ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(60). (p√3)^2 = (p + p√6/3)^2 + (2p√6/3)^2 - 2(p + p√6/3)(2p√6/3)(1/2). Perhitungan ini memverifikasi konsistensi data, sehingga panjang ruas garis BC adalah 2p√6/3.
Jawaban ringkas: 2p√6/3