Pada segitiga XYZ, XA dan YB tegak lurus terhadap sisi yang

Segitiga AXY kongruen segitiga BYX dengan syarat SAS.

Pembahasan

Diberikan segitiga XYZ, dengan XA tegak lurus YZ (XA ⊥ YZ) dan YB tegak lurus XZ (YB ⊥ XZ). Diketahui juga bahwa panjang XA = YB.
Kita ingin menunjukkan bahwa segitiga AXY kongruen dengan segitiga BYX.
Perhatikan segitiga AXY dan segitiga BYX:
1. Sudut ∠XAY = ∠YBX = 90° (karena XA ⊥ YZ dan YB ⊥ XZ, dan A terletak pada YZ, B terletak pada XZ).
2. Sisi XY adalah sisi bersama (kongruen) untuk kedua segitiga tersebut.
3. Kita diberikan bahwa panjang XA = YB.
Sekarang kita lihat segitiga yang lebih besar, yaitu segitiga XYZ. Karena XA dan YB adalah tinggi yang sama panjang dari sudut X dan Y ke sisi yang berhadapan, maka segitiga XYZ adalah segitiga sama kaki dengan XZ = YZ.
Karena XZ = YZ, maka sudut di depannya sama, yaitu ∠Y = ∠X (dalam segitiga XYZ).
Dalam segitiga AXY, kita punya sudut ∠XAY = 90°, sisi XY, dan sudut ∠AXY.
Dalam segitiga BYX, kita punya sudut ∠YBX = 90°, sisi XY, dan sudut ∠BYX.
Karena segitiga XYZ sama kaki (XZ=YZ), maka ∠YXZ = ∠XYZ. Mari kita sebut sudut ini θ.
Dalam segitiga siku-siku AYX (siku-siku di A), jumlah sudutnya 180°. Jadi, ∠AXY + ∠AYX = 90°.
Dalam segitiga siku-siku BXY (siku-siku di B), jumlah sudutnya 180°. Jadi, ∠BYX + ∠BXY = 90°.
Kita tahu ∠AYX adalah bagian dari ∠XYZ, dan ∠BXY adalah bagian dari ∠YXZ.
Karena ∠XYZ = ∠YXZ, dan XA ⊥ YZ, YB ⊥ XZ, maka kita perlu pendekatan lain.
Mari kita perhatikan segitiga XAY dan segitiga YBX:
Sisi:
- XY = YX (sisi bersama)
- XA = YB (diketahui)
Sudut:
- ∠XAY = ∠YBX = 90° (diketahui tegak lurus)

Dalam segitiga siku-siku XYZ, jika kita memiliki dua tinggi yang sama panjang (XA = YB), maka segitiga XYZ harus sama kaki.
Jika XYZ sama kaki dengan XZ = YZ, maka ∠YXZ = ∠XYZ.
Sekarang perhatikan segitiga XAY dan segitiga YBX:

Sudut:
- ∠XAY = ∠YBX = 90°
- ∠AXY = ∠BYX (karena jika segitiga XYZ sama kaki dengan XZ=YZ, maka ∠YXZ = ∠XYZ. Misalkan A terletak pada YZ dan B terletak pada XZ. Perhatikan segitiga XAY dan BYX. Kita punya XA=YB, XY=YX. Jika kita menggunakan aturan sinus pada segitiga XAY: AY/sin(∠AXY) = XY/sin(90°). Jadi AY = XY sin(∠AXY). Pada segitiga BYX: BX/sin(∠BYX) = XY/sin(90°). Jadi BX = XY sin(BYX).
Karena XA=YB, dan segitiga XYZ sama kaki, maka segitiga XAY dan BYX adalah kongruen.

Syarat kongruensi yang diterapkan adalah Sisi-Sudut-Sisi (SAS) atau Sudut-Sisi-Sudut (ASA)? Mari kita periksa lagi.

Kita punya:
1. ∠XAY = ∠YBX = 90° (Sudut)
2. XY = YX (Sisi)
3. XA = YB (Sisi)

Ini tidak langsung cocok dengan SAS atau ASA. Namun, jika kita melihat segitiga siku-siku XYZ, karena XA = YB, ini menyiratkan bahwa segitiga XYZ adalah sama kaki, dengan XZ = YZ. Akibatnya, ∠YXZ = ∠XYZ.

Sekarang, mari kita lihat segitiga XAY dan BYX lagi.
Kita punya: XA = YB (sisi), ∠XAY = ∠YBX = 90° (sudut), XY = YX (sisi).

Ini adalah kondisi Sisi-Sisi-Sudut (SSA) yang tidak umum untuk kekongruenan, KECUALI jika sudut yang berhadapan dengan sisi terpanjang adalah sudut siku-siku. Dalam kasus segitiga siku-siku AYX, sisi terpanjangnya adalah sisi miring XY. Sudut yang berhadapan dengan XY adalah ∠XAY = 90°. Sama halnya untuk segitiga BYX, sisi terpanjangnya adalah XY, dan sudut yang berhadapan dengannya adalah ∠YBX = 90°.

Jadi, kita memiliki dua segitiga siku-siku dengan sisi miring yang sama (XY) dan satu sisi siku-siku yang sama panjang (XA = YB).
Ini memenuhi syarat kekongruenan Sisi-Siku-Sisi (Hypotenuse-Leg atau HL) untuk segitiga siku-siku.

Jika tidak ingin menggunakan HL, kita bisa buktikan dari XZ = YZ.
Karena XZ = YZ, maka ZY = ZX.
A terletak pada YZ, B terletak pada XZ.
Dalam segitiga XAZ, XA ⊥ YZ. Dalam segitiga YBZ, YB ⊥ XZ.
Perhatikan segitiga XAZ dan YBZ.
XZ = YZ (sisi)
∠XZA = ∠YZB (sudut bersama)
∠XAZ = ∠YBZ = 90° (Ini salah, sudutnya bukan di A dan B)

Kembali ke segitiga XAY dan BYX:
Kita punya XA = YB, ∠XAY = ∠YBX = 90°, XY = YX.
Karena XA = YB, ini adalah tinggi yang sama dalam segitiga XYZ. Jika tinggi dari dua sudut berbeda sama, maka segitiga tersebut sama kaki. Jadi XZ = YZ.
Ini berarti ∠YXZ = ∠XYZ.

Sekarang perhatikan segitiga XAY dan BYX:
- Sisi XA = YB (diketahui)
- Sisi XY = YX (sisi bersama)
- Sudut ∠AXY = ∠BYX (karena ∠YXZ = ∠XYZ, dan A terletak pada YZ, B terletak pada XZ. Perhatikan segitiga XAY dan segitiga YBX. Sudut ∠AXY adalah bagian dari ∠YXZ, dan sudut ∠BYX adalah bagian dari ∠XYZ. Karena ∠YXZ = ∠XYZ, maka ∠AXY = ∠BYX).

Dengan demikian, kita punya kondisi Sisi-Sudut-Sisi (SAS) untuk membuktikan kekongruenan segitiga XAY dan BYX.
Sisi: XA = YB
Sudut: ∠AXY = ∠BYX
Sisi: XY = YX

Jadi, segitiga AXY kongruen dengan segitiga BYX dengan syarat SAS.