Ubahlah ke bentuk akar tunggal. (x^5 (x^2 x^(1/3)

akar(60)(x^13)

Pembahasan

Untuk mengubah ekspresi $(x^5 (x^2 x^{1/3} 	ext{akar}(4)))^{(1/5)})^{1/7}$ ke bentuk akar tunggal, kita perlu menyederhanakan eksponennya.

Langkah 1: Sederhanakan bagian dalam kurung terdalam.
$x^2 	imes x^{1/3} 	imes 	ext{akar}(4)$
Perhatikan bahwa $	ext{akar}(4)$ adalah akar pangkat 2 dari 4, yang sama dengan $4^{1/2}$.
Namun, biasanya $	ext{akar}(4)$ dalam konteks aljabar seperti ini merujuk pada variabel atau konstanta yang dilambangkan dengan akar, bukan nilai spesifik dari akar 4. Jika diasumsikan $	ext{akar}(4)$ adalah sebuah variabel, maka ekspresi tersebut tidak bisa disederhanakan lebih lanjut tanpa informasi tambahan.

Namun, jika kita menginterpretasikan $	ext{akar}(4)$ sebagai $rac{1}{4}$ karena kadang-kadang notasi $	ext{akar}(n)$ bisa berarti $rac{1}{n}$ dalam konteks eksponen, maka:
$x^2 	imes x^{1/3} 	imes x^{1/4}$
Untuk mengalikan basis yang sama, kita jumlahkan eksponennya:
$x^{2 + 1/3 + 1/4}$
Samakan penyebutnya:
$2 = 24/12$
$1/3 = 4/12$
$1/4 = 3/12$
Jadi, eksponennya adalah $24/12 + 4/12 + 3/12 = 31/12$.
Ekspresi dalam kurung menjadi $x^{31/12}$.

Mari kita asumsikan interpretasi yang lebih umum dalam soal matematika, yaitu $	ext{akar}(4)$ adalah simbol untuk akar pangkat 4 dari variabel lain, atau jika itu adalah konstanta, mungkin ada kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah $	ext{akar}^n(x)$ atau $x^{1/n}$.

Jika $	ext{akar}(4)$ adalah simbol untuk $	ext{akar pangkat 4}$, katakanlah $	ext{akar}^4(y)$, maka ekspresi tidak bisa disederhanakan menjadi bentuk akar tunggal dari x.

Jika kita mengasumsikan bahwa $	ext{akar}(4)$ adalah bagian dari eksponen, misalnya $x^{1/4}$, maka:
$(x^5 (x^2 	imes x^{1/3} 	imes x^{1/4}))^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^5 	imes x^{2 + 1/3 + 1/4})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^5 	imes x^{31/12})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{5 + 31/12})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{60/12 + 31/12})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{91/12})^{(1/5)})^{1/7}$
$= x^{(91/12) 	imes (1/5) 	imes (1/7)}$
$= x^{(91 / (12 	imes 5 	imes 7))}$
$= x^{(91 / 420)}$

Sekarang, ubah ke bentuk akar tunggal. Bentuk akar tunggal dari $x^a$ adalah $	ext{akar}^b(x^c)$ di mana $a = c/b$. Dalam kasus kita, eksponennya adalah $91/420$. Ini dapat ditulis sebagai $	ext{akar}^{420}(x^{91})$.

Namun, $91$ dan $420$ memiliki faktor persekutuan. $91 = 7 	imes 13$. $420 = 42 	imes 10 = 6 	imes 7 	imes 2 	imes 5 = 2^2 	imes 3 	imes 5 	imes 7$.
Faktor persekutuan terbesar adalah 7.
$91 / 7 = 13$
$420 / 7 = 60$
Jadi, eksponen yang disederhanakan adalah $13/60$.

Ini berarti ekspresi tersebut adalah $x^{13/60}$, yang dalam bentuk akar tunggal adalah $	ext{akar}^{60}(x^{13})$.

Asumsi utama di sini adalah bahwa $	ext{akar}(4)$ berarti $x^{1/4}$. Jika $	ext{akar}(4)$ adalah konstanta numerik, maka soalnya akan berbeda.

Jika kita menganggap $	ext{akar}(4)$ sebagai kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah $	ext{akar}(x^4)$ atau $x$, maka perhitungannya akan berbeda.
Misalkan soalnya adalah $(x^5 (x^2 	imes x^{1/3} 	imes x^4))^{(1/5)})^{1/7}$:
$(x^5 	imes x^{2 + 1/3 + 4})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^5 	imes x^{6 + 1/3})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^5 	imes x^{19/3})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{5 + 19/3})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{15/3 + 19/3})^{(1/5)})^{1/7}$
$= (x^{34/3})^{(1/5)})^{1/7}$
$= x^{(34/3) 	imes (1/5) 	imes (1/7)}$
$= x^{34 / 105}$
Bentuk akar tunggalnya adalah $	ext{akar}^{105}(x^{34})$.

Dengan asumsi interpretasi pertama (akar(4) = x^(1/4)), jawaban yang paling masuk akal adalah $	ext{akar}^{60}(x^{13})$.