Pasangkan dengan volume benda putar yang tepat jika setiap

Menentukan volume benda putar memerlukan gambar daerah yang diarsir. Jika daerah dibatasi y=f(x) dan sumbu X dari a ke b, volumenya V = π ∫[a,b] (f(x))^2 dx. Contoh untuk y=x+2 dari x=0 sampai x=2 diputar pada sumbu X adalah 56π/3.

Pembahasan

Pertanyaan ini meminta untuk memasangkan daerah yang diarsir pada gambar (yang tidak disertakan dalam input) dengan volume benda putar yang tepat jika diputar mengelilingi sumbu X. Karena gambar tidak ada, saya akan memberikan contoh bagaimana menentukan volume benda putar jika diketahui fungsinya.

Asumsikan daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, dan garis x = a serta x = b. Jika daerah ini diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 derajat (satu putaran penuh), volume benda putar yang terbentuk dapat dihitung menggunakan metode cakram (disk method).

Rumus Volume (V) menggunakan metode cakram adalah:

V = π ∫[dari a sampai b] (f(x))^2 dx

Jika daerah yang diarsir dibatasi oleh dua kurva, misalnya y = f(x) dan y = g(x), di mana f(x) ≥ g(x) pada interval [a, b], dan diputar mengelilingi sumbu X, maka digunakan metode kulit tabung (washer method).

Rumus Volume (V) menggunakan metode kulit tabung adalah:

V = π ∫[dari a sampai b] [(f(x))^2 - (g(x))^2] dx

**Contoh dengan y = x + 2:**
Jika daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu X, dan misalnya garis x = 0 serta x = 2, maka volume benda putar yang dihasilkan saat diputar mengelilingi sumbu X adalah:

V = π ∫[dari 0 sampai 2] (x + 2)^2 dx

Untuk menghitung integralnya:
∫ (x + 2)^2 dx = ∫ (x^2 + 4x + 4) dx
= (1/3)x^3 + 2x^2 + 4x

Evaluasi dari 0 sampai 2:
[ (1/3)(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) ] - [ (1/3)(0)^3 + 2(0)^2 + 4(0) ]
= [ (1/3)(8) + 2(4) + 8 ] - [ 0 ]
= [ 8/3 + 8 + 8 ]
= 8/3 + 16
= 8/3 + 48/3
= 56/3

Jadi, volumenya adalah V = π * (56/3) = 56π/3 satuan kubik.

Tanpa gambar spesifik daerah yang diarsir, tidak mungkin memberikan pasangan volume yang tepat. Soal ini memerlukan informasi visual dari gambar tersebut.