Pedagang makanan membeli tempe seharga Rp2.500,00 per buah

Keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah Rp362.000,00.

Pembahasan

Untuk mencari keuntungan maksimum pedagang tersebut, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
x = jumlah buah tempe yang dibeli
y = jumlah buah tahu yang dibeli

Biaya pembelian:
Tempe: Rp2.500,00 per buah
Tahu: Rp4.000,00 per buah
Modal: Rp1.450.000,00
Kendala modal: 2500x + 4000y <= 1450000
Sederhanakan: 5x + 8y <= 2900

Kapasitas kios:
Tempe dan tahu sebanyak 400 buah
Kendala kapasitas: x + y <= 400

Keuntungan:
Tempe: Rp500,00 per buah
Tahu: Rp1.000,00 per buah
Fungsi tujuan (keuntungan maksimum): Z = 500x + 1000y

Kita juga memiliki kendala non-negatif: x >= 0 dan y >= 0.

Sekarang kita cari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut:
1. Titik potong sumbu x (y=0) dari 5x + 8y = 2900 => 5x = 2900 => x = 580. Titik (580, 0)
2. Titik potong sumbu y (x=0) dari 5x + 8y = 2900 => 8y = 2900 => y = 362.5. Titik (0, 362.5)
3. Titik potong sumbu x (y=0) dari x + y = 400 => x = 400. Titik (400, 0)
4. Titik potong sumbu y (x=0) dari x + y = 400 => y = 400. Titik (0, 400)

Cari titik potong antara 5x + 8y = 2900 dan x + y = 400:
Dari x + y = 400, maka x = 400 - y
Substitusikan ke persamaan pertama:
5(400 - y) + 8y = 2900
2000 - 5y + 8y = 2900
3y = 2900 - 2000
3y = 900
y = 300

Substitusikan y = 300 ke x = 400 - y:
x = 400 - 300
x = 100
Titik potongnya adalah (100, 300).

Sekarang evaluasi fungsi tujuan Z = 500x + 1000y pada titik-titik pojok yang memenuhi kendala:
Titik pojok yang valid adalah yang berada di bawah atau pada garis kendala, dan di kuadran pertama.
Titik (0, 0): Z = 500(0) + 1000(0) = 0
Titik (400, 0): Memenuhi x+y<=400 (400<=400), tapi tidak memenuhi 5x+8y<=2900 (5*400 = 2000 <= 2900). Z = 500(400) + 1000(0) = 200000
Titik (0, 362.5): Kita ambil y=362 karena jumlah buah harus bulat. Titik (0, 362). Memenuhi x+y<=400 (362<=400) dan 5x+8y<=2900 (8*362 = 2896 <= 2900). Z = 500(0) + 1000(362) = 362000
Titik (100, 300): Memenuhi x+y<=400 (100+300=400<=400) dan 5x+8y<=2900 (5*100 + 8*300 = 500 + 2400 = 2900 <= 2900). Z = 500(100) + 1000(300) = 50000 + 300000 = 350000

Perlu diperiksa lagi titik (400,0), 5*400+8*0 = 2000 <= 2900, jadi titik (400,0) valid. Z = 500(400) = 200.000

Perlu diperiksa lagi titik (0, 362.5). Kita ambil y=362. Titik (0,362) valid. Z = 1000*362 = 362.000

Ada kesalahan dalam perhitungan titik (400,0). Seharusnya kita membandingkan titik pojok yang membatasi daerah yang memenuhi:

1. (0,0): Z=0
2. Titik potong sumbu x dengan batas modal: 5x = 2900 => x=580. Tapi dibatasi oleh kios x<=400. Jadi titik (400,0) adalah batas kios.
   Pada (400,0): 5(400) + 8(0) = 2000 <= 2900. Jadi (400,0) valid. Z = 500(400) = 200.000.
3. Titik potong sumbu y dengan batas modal: 8y = 2900 => y=362.5. Dibatasioleh kios y<=400. Jadi titik (0, 362.5) adalah batas modal.
   Karena jumlah buah harus bulat, kita ambil y=362. Titik (0, 362). 0+362<=400 (valid). 5(0)+8(362) = 2896 <= 2900 (valid). Z = 1000(362) = 362.000.
4. Titik potong kedua garis: (100, 300). 100+300=400 (valid). 5(100)+8(300)=500+2400=2900 (valid). Z = 500(100) + 1000(300) = 50000 + 300000 = 350.000.

Mari kita periksa kembali titik pojok yang relevan:

*   (0,0): Z=0
*   (400,0): Z = 500(400) + 1000(0) = 200.000
*   (0, 362): Z = 500(0) + 1000(362) = 362.000
*   (100, 300): Z = 500(100) + 1000(300) = 50.000 + 300.000 = 350.000

Sepertinya ada kekeliruan dalam interpretasi titik potong dengan sumbu y dari kendala modal.

Kendala:
1) 5x + 8y <= 2900
2) x + y <= 400
3) x >= 0, y >= 0

Fungsi Tujuan: Z = 500x + 1000y

Titik pojok yang perlu diuji adalah:
- Perpotongan sumbu x dan y (0,0)
- Perpotongan kendala 2 dengan sumbu x: x+y=400, y=0 => x=400. Titik (400,0). Cek kendala 1: 5(400)+8(0)=2000 <= 2900. Valid.
- Perpotongan kendala 2 dengan sumbu y: x+y=400, x=0 => y=400. Titik (0,400). Cek kendala 1: 5(0)+8(400)=3200 > 2900. Tidak valid.
- Perpotongan kendala 1 dengan sumbu x: 5x+8y=2900, y=0 => x=580. Titik (580,0). Cek kendala 2: 580+0=580 > 400. Tidak valid.
- Perpotongan kendala 1 dengan sumbu y: 5x+8y=2900, x=0 => y=362.5. Titik (0, 362.5). Karena jumlah buah harus bulat, kita bisa ambil y=362. Cek kendala 2: 0+362=362 <= 400. Valid.
- Perpotongan kendala 1 dan 2:
  5x + 8y = 2900
  x + y = 400   => x = 400 - y
  5(400 - y) + 8y = 2900
  2000 - 5y + 8y = 2900
  3y = 900
  y = 300
  x = 400 - 300 = 100
  Titik (100, 300). Cek kendala 1: 5(100)+8(300)=500+2400=2900 <= 2900. Valid. Cek kendala 2: 100+300=400 <= 400. Valid.

Sekarang kita evaluasi Z = 500x + 1000y pada titik-titik pojok yang valid:
*   (0,0): Z = 500(0) + 1000(0) = 0
*   (400,0): Z = 500(400) + 1000(0) = 200.000
*   (0, 362): Z = 500(0) + 1000(362) = 362.000
*   (100, 300): Z = 500(100) + 1000(300) = 50.000 + 300.000 = 350.000

Keuntungan maksimum diperoleh pada titik (0, 362) dengan nilai Rp362.000,00.

Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah Rp362.000,00.