Penyelesaian dari pertidaksamaan 2

Dengan asumsi logaritma basis 10, penyelesaiannya adalah $3 + 10^{-2\sqrt{3}} < x < 3 + 10^{2\sqrt{3}}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $2 \log(x-3)^2 + 24 > (2 \log(x-3))^2$, kita dapat melakukan substitusi untuk menyederhanakan bentuknya.
Misalkan $y = \log(x-3)$. Maka pertidaksamaan menjadi:
$2 y^2 + 24 > (2y)^2$
$2 y^2 + 24 > 4y^2$
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$24 > 4y^2 - 2y^2$
$24 > 2y^2$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$12 > y^2$
Atau $y^2 < 12$.
Ini berarti $-\sqrt{12} < y < \sqrt{12}$.
Sederhanakan $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
Jadi, $-2\sqrt{3} < y < 2\sqrt{3}$.
Gantikan kembali $y = \log(x-3)$:
$-2\sqrt{3} < \log(x-3) < 2\sqrt{3}$.
Untuk menyelesaikan ini, kita perlu tahu basis logaritma. Asumsikan basisnya adalah 10 (logaritma umum) atau $e$ (logaritma natural). Kita akan gunakan basis 10.
$10^{-2\sqrt{3}} < x-3 < 10^{2\sqrt{3}}$.
Tambahkan 3 ke semua bagian:
$3 + 10^{-2\sqrt{3}} < x < 3 + 10^{2\sqrt{3}}$.
Namun, kita juga harus memperhatikan domain dari logaritma awal, yaitu $(x-3)^2 > 0$ dan $x-3 > 0$.
Dari $(x-3)^2 > 0$, ini berlaku untuk semua $x$ kecuali $x=3$.
Dari $x-3 > 0$, maka $x > 3$.
Jadi, kita perlu $x > 3$.
Nilai $10^{-2\sqrt{3}}$ adalah bilangan positif yang sangat kecil, jadi $3 + 10^{-2\sqrt{3}}$ akan sedikit lebih besar dari 3.
Nilai $10^{2\sqrt{3}}$ adalah bilangan yang sangat besar.
Jadi, penyelesaiannya adalah $3 + 10^{-2\sqrt{3}} < x < 3 + 10^{2\sqrt{3}}$.
Perkiraan nilai: $2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464$.
$10^{3.464} \approx 2910$. $10^{-3.464} \approx 1/2910 \approx 0.00034$.
Jadi, $3 + 0.00034 < x < 3 + 2910$.
$3.00034 < x < 2913$.
Jika basis logaritma adalah $e$ (ln):
$e^{-2\sqrt{3}} < x-3 < e^{2\sqrt{3}}$.
$3 + e^{-2\sqrt{3}} < x < 3 + e^{2\sqrt{3}}$.
$e^{3.464} \approx 31.9$. $e^{-3.464} \approx 1/31.9 \approx 0.031$.
Jadi, $3 + 0.031 < x < 3 + 31.9 
ightarrow 3.031 < x < 34.9$.