Penyelesaian pertidaksamaan 1/2 log (x^2+2x)<-3 adalah ...

x ∈ (-2 - 10⁻⁶/2, -2) ∪ (0, 10⁻⁶/2)

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 1/2 log (x^2+2x) < -3.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ini, kita perlu memperhatikan basis logaritma dan syarat numerus (argumen logaritma).

Asumsikan basis logaritma adalah 10 (logaritma umum).
1/2 log (x^2+2x) < -3

Kalikan kedua sisi dengan 2:
log (x^2+2x) < -6

Ubah ke bentuk eksponensial (dengan basis 10):
x^2+2x < 10^-6
x^2+2x < 1/1.000.000

Sekarang, kita perlu mempertimbangkan syarat numerus agar logaritma terdefinisi, yaitu:
x^2 + 2x > 0
x(x+2) > 0
Ini berarti x < -2 atau x > 0.

Kembali ke pertidaksamaan x^2+2x < 10^-6:
x^2 + 2x - 10^-6 < 0

Untuk mencari akar-akar dari x^2+2x - 10^-6 = 0, kita gunakan rumus kuadratik:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a=1, b=2, c=-10^-6.

x = [-2 ± sqrt(2^2 - 4 * 1 * (-10^-6))] / 2 * 1
x = [-2 ± sqrt(4 + 4 * 10^-6)] / 2
x = [-2 ± sqrt(4 * (1 + 10^-6))] / 2
x = [-2 ± 2 * sqrt(1 + 10^-6)] / 2
x = -1 ± sqrt(1 + 10^-6)

Karena 10^-6 sangat kecil, sqrt(1 + 10^-6) kira-kira sama dengan 1 + 1/2 * 10^-6.
Jadi, akar-akarnya adalah:
x1 ≈ -1 - (1 + 0.5 * 10^-6) = -2 - 0.5 * 10^-6
x2 ≈ -1 + (1 + 0.5 * 10^-6) = 0.5 * 10^-6

Pertidaksamaan kuadrat x^2 + 2x - 10^-6 < 0 berarti nilai x berada di antara akar-akarnya.
Jadi, -2 - 0.5 * 10^-6 < x < 0.5 * 10^-6.

Kita harus menggabungkan hasil ini dengan syarat numerus (x < -2 atau x > 0).
Irisan dari (-2 - 0.5 * 10^-6 < x < 0.5 * 10^-6) dengan (x < -2 atau x > 0) adalah:
-2 - 0.5 * 10^-6 < x < -2   ATAU   0 < x < 0.5 * 10^-6

Ini bisa ditulis sebagai:
x ∈ (-2 - 10⁻⁶/2, -2) ∪ (0, 10⁻⁶/2)