Tentukan interval di mana grafik fungsi g(x) = cos (1/2

Naik pada $(-2\pi+2, 2)$, turun pada $(-2\pi, -2\pi+2) \cup (2, 2\pi)$.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana grafik fungsi $g(x) = \cos (\frac{1}{2} x - 1)$ naik dan turun pada interval $-2\pi < x < 2\pi$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut.

$g(x) = \cos (\frac{1}{2} x - 1)$

Mencari turunan pertama $g'(x)$ menggunakan aturan rantai:
$g'(x) = -\sin (\frac{1}{2} x - 1) 	imes \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} x - 1)$
$g'(x) = -\sin (\frac{1}{2} x - 1) 	imes \frac{1}{2}$
$g'(x) = -\frac{1}{2} \sin (\frac{1}{2} x - 1)$

Grafik fungsi naik ketika $g'(x) > 0$ dan turun ketika $g'(x) < 0$.

1. Fungsi naik ketika $g'(x) > 0$:
$- \frac{1}{2} \sin (\frac{1}{2} x - 1) > 0$
$\sin (\frac{1}{2} x - 1) < 0$

Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. Misalkan $\theta = \frac{1}{2} x - 1$.
Kita tahu bahwa $\sin \theta < 0$ ketika $\pi + 2k\pi < \theta < 2\pi + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Substitusikan kembali $\theta = \frac{1}{2} x - 1$:
$\pi + 2k\pi < \frac{1}{2} x - 1 < 2\pi + 2k\pi$
$\pi + 1 + 2k\pi < \frac{1}{2} x < 2\pi + 1 + 2k\pi$
$2(\pi + 1 + 2k\pi) < x < 2(2\pi + 1 + 2k\pi)$
$2\pi + 2 + 4k\pi < x < 4\pi + 2 + 4k\pi$

Sekarang kita periksa interval $-2\pi < x < 2\pi$.
Untuk $k=0$: $2\pi + 2 < x < 4\pi + 2$. Interval ini di luar $-2\pi < x < 2\pi$.
Untuk $k=-1$: $2\pi + 2 - 4\pi < x < 4\pi + 2 - 4\pi 
ightarrow -2\pi + 2 < x < 2 + 2$. Interval ini juga sebagian besar di luar.

Mari kita ubah pendekatan. Kita tahu bahwa $\sin \alpha$ negatif ketika $\pi < \alpha < 2\pi$ (dalam satu periode). Jadi, untuk $\sin (\frac{1}{2} x - 1) < 0$:
$\pi < \frac{1}{2} x - 1 < 2\pi$
$\pi + 1 < \frac{1}{2} x < 2\pi + 1$
$2\pi + 2 < x < 4\pi + 2$
Ini tidak ada dalam interval $-2\pi < x < 2\pi$. 

Perhatikan bahwa fungsi $\sin \theta$ bernilai negatif pada interval $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$, $(-2\pi, -\pi)$, dll.
Kita ingin $\sin (\frac{1}{2} x - 1) < 0$. 
Misalkan $\alpha = \frac{1}{2} x - 1$. Maka $\sin \alpha < 0$ jika $\alpha \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$.
\begin{enumerate}
    \item Untuk $k=0$: $\alpha \in (\pi, 2\pi) \implies \pi < \frac{1}{2} x - 1 < 2\pi 
    \implies \pi+1 < \frac{1}{2} x < 2\pi+1 
    \implies 2\pi+2 < x < 4\pi+2$. Interval ini tidak ada dalam $-2\pi < x < 2\pi$.
    \item Untuk $k=-1$: $\alpha \in (-\pi, 0) \implies -\pi < \frac{1}{2} x - 1 < 0 
    \implies -\pi+1 < \frac{1}{2} x < 1 
    \implies -2\pi+2 < x < 2$. Ini termasuk dalam interval $-2\pi < x < 2\pi$. Jadi, fungsi naik pada $(-2\pi+2, 2)$.
\end{enumerate}

2. Fungsi turun ketika $g'(x) < 0$:
$- \frac{1}{2} \sin (\frac{1}{2} x - 1) < 0$
$\sin (\frac{1}{2} x - 1) > 0$

Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. Misalkan $\theta = \frac{1}{2} x - 1$.
Kita tahu bahwa $\sin \theta > 0$ ketika $0 + 2k\pi < \theta < 
 \pi + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Substitusikan kembali $\theta = \frac{1}{2} x - 1$:
$0 + 2k\pi < \frac{1}{2} x - 1 < 
 \pi + 2k\pi$
$1 + 2k\pi < \frac{1}{2} x < 1 + 
 \pi + 2k\pi$
$2 + 4k\pi < x < 2 + 2\pi + 4k\pi$

Sekarang kita periksa interval $-2\pi < x < 2\pi$.
Untuk $k=0$: $2 < x < 2 + 2\pi$. Interval ini tidak sepenuhnya dalam $-2\pi < x < 2\pi$ karena batas atasnya $2+2
 \pi 
 \approx 8.28$, sedangkan batas intervalnya adalah $2\pi 
 \approx 6.28$.
Mari kita pecah.
Kita ingin $\sin (\frac{1}{2} x - 1) > 0$.
\begin{enumerate}
    \item Untuk $k=0$: $\alpha \in (0, \pi) \implies 0 < \frac{1}{2} x - 1 < \pi 
    \implies 1 < \frac{1}{2} x < 
 \pi + 1 
    \implies 2 < x < 2\pi + 2$. Di dalam interval $-2\pi < x < 2\pi$, ini berarti $2 < x < 2\pi$.
    \item Untuk $k=-1$: $\alpha 
 \in (-2\pi, -\pi) \implies -2\pi < \frac{1}{2} x - 1 < -\pi 
    \implies -2\pi+1 < \frac{1}{2} x < -\pi+1 
    \implies -4\pi+2 < x < -2\pi+2$. Di dalam interval $-2\pi < x < 2\pi$, ini berarti $-2\pi < x < -2\pi+2$.
\end{enumerate}

Jadi, grafik fungsi $g(x) = \cos (\frac{1}{2} x - 1)$:
Naik pada interval $(-2\pi + 2, 2)$.
Turun pada interval $(-2\pi, -2\pi+2)$ dan $(2, 2\pi)$.

Namun, perlu diperiksa lagi batas-batasnya.
Kita mencari saat $\sin(\frac{1}{2}x - 1)$ positif atau negatif.

Titik kritis adalah ketika $\sin(\frac{1}{2}x - 1) = 0$.
$\frac{1}{2}x - 1 = m\pi$ untuk $m$ bilangan bulat.
$\frac{1}{2}x = 1 + m\pi$
$x = 2 + 2m\pi$

Dalam interval $-2\pi < x < 2\pi$, nilai $x$ yang memenuhi adalah:
Jika $m=0$, $x = 2$.
Jika $m=-1$, $x = 2 - 2\pi = -2\pi + 2$.
Jika $m=1$, $x = 2 + 2\pi$ (di luar interval).
Jika $m=-2$, $x = 2 - 4\pi$ (di luar interval).

Jadi, titik kritisnya adalah $x = -2\pi + 2$ dan $x = 2$.

Kita uji interval:
1. $(-2\pi, -2\pi+2)$: Pilih $x = -2\pi$. $\frac{1}{2}(-2\pi) - 1 = -\pi - 1$. $\sin(-\pi - 1) = -\sin(\pi + 1) = -(-\sin(1)) = \sin(1)$. Karena $0 < 1 < \pi$, $\sin(1)$ positif. Maka $g'(x) = -\frac{1}{2}(\text{positif}) = \text{negatif}$. Fungsi turun.
2. $(-2\pi+2, 2)$: Pilih $x=0$. $\frac{1}{2}(0) - 1 = -1$. $\sin(-1) = -\sin(1)$. $-\sin(1)$ negatif. Maka $g'(x) = -\frac{1}{2}(\text{negatif}) = \text{positif}$. Fungsi naik.
3. $(2, 2\pi)$: Pilih $x = 2\pi$. $\frac{1}{2}(2\pi) - 1 = \pi - 1$. $\sin(\pi - 1) = \sin(1)$. $\sin(1)$ positif. Maka $g'(x) = -\frac{1}{2}(\text{positif}) = \text{negatif}$. Fungsi turun.

Kesimpulan:
Grafik fungsi $g(x) = \cos (\frac{1}{2} x - 1)$ naik pada interval $(-2\pi + 2, 2)$.
Grafik fungsi $g(x) = \cos (\frac{1}{2} x - 1)$ turun pada interval $(-2\pi, -2\pi + 2)$ dan $(2, 2\pi)$.