Penyelesaian pertidaksamaan ((x-1)/x)^2<=4(1-1/x)-3 adalah

Penyelesaiannya adalah x <= -1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ((x-1)/x)^2<=4(1-1/x)-3, kita perlu menyederhanakan dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih mudah dikelola.

((x-1)/x)^2 <= 4(1 - 1/x) - 3
(x^2 - 2x + 1)/x^2 <= 4 - 4/x - 3
(x^2 - 2x + 1)/x^2 <= 1 - 4/x

Samakan penyebutnya:
(x^2 - 2x + 1)/x^2 <= (x - 4x)/x^2
(x^2 - 2x + 1)/x^2 <= (-3x)/x^2

Pindahkan semua ke satu sisi:
(x^2 - 2x + 1)/x^2 - (-3x)/x^2 <= 0
(x^2 - 2x + 1 + 3x)/x^2 <= 0
(x^2 + x + 1)/x^2 <= 0

Perhatikan bahwa x^2 selalu positif (kecuali x=0, yang membuat penyebut menjadi nol).
Untuk pembilang, x^2 + x + 1, kita cek diskriminannya:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3.
Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif, maka x^2 + x + 1 selalu bernilai positif untuk semua nilai x real.

Karena pembilang (x^2 + x + 1) selalu positif dan penyebut (x^2) juga selalu positif (kecuali x=0), maka hasil bagi ((x^2 + x + 1)/x^2) akan selalu positif.

Pertidaksamaan (x^2 + x + 1)/x^2 <= 0 tidak memiliki solusi karena sisi kiri selalu positif.

Namun, ada kesalahan dalam asumsi awal atau penulisan soal. Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.

Mari kita ubah bentuk awal:
((x-1)/x)^2 <= 4 - 4/x - 3
((x-1)/x)^2 <= 1 - 4/x

Misalkan y = (x-1)/x = 1 - 1/x.
Maka pertidaksamaan menjadi:
y^2 <= 1 - 4(1 - y)
y^2 <= 1 - 4 + 4y
y^2 <= -3 + 4y
y^2 - 4y + 3 <= 0
(y-1)(y-3) <= 0

Ini berarti nilai y berada di antara 1 dan 3 (inklusif).
1 <= y <= 3

Sekarang substitusikan kembali y = 1 - 1/x:
1 <= 1 - 1/x <= 3

Kita pecah menjadi dua pertidaksamaan:

1) 1 <= 1 - 1/x
   0 <= -1/x
   1/x <= 0
   Ini terjadi ketika x < 0.

2) 1 - 1/x <= 3
   -1/x <= 2
   1/x >= -2

   Jika x > 0, maka 1 >= -2x, atau 2x >= -1, atau x >= -1/2. Karena kita sudah asumsikan x > 0, maka solusi di sini adalah x > 0.
   Jika x < 0, maka 1 <= -2x, atau 2x <= -1, atau x <= -1/2.

Menggabungkan kedua kondisi:
Dari (1), kita punya x < 0.
Dari (2), kita punya x > 0 atau x <= -1/2.

Irisan dari x < 0 dan (x > 0 atau x <= -1/2) adalah x <= -1/2.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah x <= -1/2.