Perhatikan gambar berikut.Daerah yang diarsir dibatasi oleh

Jari-jari lingkaran adalah 14 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran, kita perlu menganalisis hubungan antara luas daerah yang diarsir dengan dimensi persegi panjang dan setengah lingkaran. Misalkan jari-jari lingkaran adalah r. Maka diameter lingkaran adalah 2r. Karena daerah yang diarsir dibatasi oleh setengah lengkung lingkaran dan sisi-sisi persegi panjang, maka salah satu sisi persegi panjang berimpit dengan diameter lingkaran tersebut. Dengan demikian, panjang salah satu sisi persegi panjang adalah 2r.

Luas daerah yang diarsir adalah luas setengah lingkaran ditambah luas persegi panjang. Namun, berdasarkan deskripsi soal yang menyiratkan daerah diarsir *dibatasi* oleh setengah lengkung lingkaran dan sisi-sisi persegi panjang, ini kemungkinan besar merujuk pada luas yang dibentuk oleh gabungan atau selisih dari kedua bangun tersebut. 

Jika kita mengasumsikan daerah yang diarsir adalah luas setengah lingkaran yang berada di atas persegi panjang, atau jika persegi panjang tersebut merupakan bagian dari setengah lingkaran, maka kita perlu informasi lebih lanjut mengenai dimensi persegi panjang tersebut, atau bagaimana daerah tersebut dibentuk.

Namun, jika kita menafsirkan soal ini sebagai luas daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran *dan* sisi-sisi persegi panjang (misalnya, setengah lingkaran di atas persegi panjang, dan luas yang diarsir adalah gabungan keduanya), atau jika persegi panjang tersebut berada di dalam setengah lingkaran, maka kita perlu hubungan antar dimensi. 

Mari kita coba pendekatan yang paling umum untuk soal semacam ini: daerah yang diarsir adalah luas setengah lingkaran yang kelilingnya dibatasi oleh diameter dan busur lingkaran, dan persegi panjang yang sisi-sisinya membentuk batas tersebut. Jika sisi persegi panjang berukuran panjang p dan lebar l, dan setengah lingkaran memiliki diameter yang sama dengan salah satu sisi persegi panjang (misalnya p = diameter = 2r), maka luas daerah yang diarsir bisa jadi luas setengah lingkaran tersebut.

Jika luas yang diarsir adalah luas setengah lingkaran, maka luasnya adalah (1/2) * pi * r^2. Diketahui luasnya adalah 84 cm^2. Maka:
(1/2) * pi * r^2 = 84
r^2 = 168 / pi
Jika kita gunakan pi ≈ 22/7, maka:
r^2 = 168 / (22/7) = 168 * 7 / 22 = 84 * 7 / 11 = 588 / 11 ≈ 53.45
r ≈ sqrt(53.45) ≈ 7.31 cm. Ini tidak sesuai dengan pilihan.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: daerah yang diarsir adalah luas persegi panjang ditambah luas setengah lingkaran di atasnya, atau luas setengah lingkaran yang dipotong oleh persegi panjang. 

Jika diasumsikan daerah yang diarsir adalah luas setengah lingkaran yang diameternya adalah salah satu sisi persegi panjang, dan luas tersebut adalah 84 cm^2:
Luas setengah lingkaran = (1/2) * pi * r^2 = 84
Jika kita memilih jari-jari dari pilihan:
Jika r = 7, Luas = (1/2) * (22/7) * 7^2 = (1/2) * 22 * 7 = 77 cm^2.
Jika r = 14, Luas = (1/2) * (22/7) * 14^2 = (1/2) * 22 * 2 * 14 = 22 * 14 = 308 cm^2.
Jika r = 21, Luas = (1/2) * (22/7) * 21^2 = (1/2) * 22 * 3 * 21 = 11 * 3 * 21 = 33 * 21 = 693 cm^2.
Jika r = 28, Luas = (1/2) * (22/7) * 28^2 = (1/2) * 22 * 4 * 28 = 11 * 4 * 28 = 44 * 28 = 1232 cm^2.

Tidak ada yang cocok jika daerah yang diarsir HANYA luas setengah lingkaran.

Kemungkinan lain: daerah yang diarsir adalah luas persegi panjang yang ada di bawah setengah lingkaran. Misalkan lebar persegi panjang adalah r dan panjangnya adalah 2r (diameter). Maka luas persegi panjang = p * l = 2r * r = 2r^2. Jika daerah yang diarsir adalah ini, maka 2r^2 = 84, r^2 = 42, r ≈ 6.48.

Jika daerah yang diarsir adalah gabungan luas persegi panjang (misal sisi x dan y) dan setengah lingkaran (diameter salah satu sisi).
Jika gambar menunjukkan setengah lingkaran di atas persegi panjang, dan diameter setengah lingkaran sama dengan panjang persegi panjang (p), maka p = 2r. Misalkan lebar persegi panjang adalah l. Luas diarsir = luas persegi panjang + luas setengah lingkaran = p*l + (1/2)*pi*r^2 = (2r)*l + (1/2)*pi*r^2 = 84.

Jika gambar menunjukkan daerah yang diarsir adalah luas setengah lingkaran DITAMBAH dengan luas persegi panjang yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (sehingga membentuk persegi), maka Luas = (1/2) * pi * r^2 + r^2 = r^2 * (pi/2 + 1). Jika 84 = r^2 * (22/14 + 1) = r^2 * (11/7 + 1) = r^2 * (18/7), maka r^2 = 84 * 7 / 18 = 14 * 7 / 3 = 98/3 ≈ 32.67, r ≈ 5.7.

Jika gambar menunjukkan luas setengah lingkaran yang alasnya adalah sisi persegi, dan daerah yang diarsir adalah luas tersebut,
dan persegi itu sendiri adalah bagian dari keseluruhan gambar.

Seringkali soal seperti ini memiliki konfigurasi di mana setengah lingkaran menempel pada salah satu sisi persegi. Jika setengah lingkaran menempel pada sisi persegi dengan panjang s, maka diameter lingkaran adalah s, sehingga s = 2r. Luas daerah yang diarsir bisa jadi luas persegi + luas setengah lingkaran. Luas = s^2 + (1/2) * pi * r^2 = (2r)^2 + (1/2) * pi * r^2 = 4r^2 + (1/2) * pi * r^2 = r^2 * (4 + pi/2).
Jika 84 = r^2 * (4 + 22/14) = r^2 * (4 + 11/7) = r^2 * (28/7 + 11/7) = r^2 * (39/7).
r^2 = 84 * 7 / 39 = 28 * 7 / 13 = 196 / 13 ≈ 15.08.
r ≈ 3.88.

Skenario yang paling masuk akal dengan pilihan yang diberikan adalah jika luas daerah yang diarsir merupakan bagian dari luas lingkaran atau persegi yang lebih besar.

Mari kita asumsikan bahwa daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI PANJANG yang berada di dalam setengah lingkaran, dimana diameter setengah lingkaran sama dengan salah satu sisi persegi panjang, dan setengah lingkaran tersebut menutupi sebagian dari persegi panjang tersebut.

Jika diameter setengah lingkaran adalah salah satu sisi persegi panjang, misal panjangnya p, maka p = 2r. Misalkan lebar persegi panjang adalah l. Jika daerah yang diarsir adalah persegi panjang yang berada di dalam setengah lingkaran, maka l <= r. Luas = p * l = 2r * l = 84.

Kemungkinan lain: daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI PANJANG yang alasnya sama dengan jari-jari lingkaran dan tingginya sama dengan jari-jari lingkaran (sehingga membentuk persegi), dan setengah lingkaran tersebut mengelilingi persegi ini.

Coba kita lihat jika ada kesalahan interpretasi soal atau jika ada informasi visual yang hilang. Soal ini sangat bergantung pada gambar.

Jika kita membalik logikanya: Jari-jari 7 cm.
Jika r=7, diameter=14.
Luas setengah lingkaran = (1/2) * (22/7) * 7^2 = 77 cm^2.
Jika luas yang diarsir 84 cm^2, dan ini adalah luas setengah lingkaran + sesuatu, atau luas persegi + sesuatu.

Jika daerah yang diarsir adalah luas SETENGAH LINGKARAN yang berdiameter 14 cm (jari-jari 7 cm), maka luasnya adalah 77 cm^2. Perbedaannya adalah 84 - 77 = 7 cm^2. Mungkin 7 cm^2 adalah luas tambahan yang berasal dari persegi.

Jika jari-jari adalah 7 cm, diameter adalah 14 cm. Jika persegi panjang memiliki sisi 14 cm (sama dengan diameter) dan lebar tertentu.
Jika luas yang diarsir = Luas Persegi + Luas Setengah Lingkaran.

Seringkali, dalam soal geometri gabungan, daerah yang diarsir adalah Luas Persegi + Luas Setengah Lingkaran yang menempel pada salah satu sisinya.
Misalkan sisi persegi adalah s. Maka diameter setengah lingkaran adalah s, sehingga r = s/2.
Luas yang diarsir = s^2 + (1/2) * pi * r^2 = s^2 + (1/2) * pi * (s/2)^2 = s^2 + (1/2) * pi * s^2/4 = s^2 * (1 + pi/8).
Jika luas = 84.
84 = s^2 * (1 + 22/7/8) = s^2 * (1 + 22/56) = s^2 * (1 + 11/28) = s^2 * (39/28).
s^2 = 84 * 28 / 39 = 28 * 28 / 13 = 784 / 13 ≈ 60.3.
s ≈ 7.76.
r = s/2 ≈ 3.88.

Mari kita coba interpretasi lain yang mungkin lebih umum:
Daerah yang diarsir adalah SETENGAH LINGKARAN yang dibatasi oleh diameter dan busur lingkaran, DITAMBAH dengan PERSEGI PANJANG yang salah satu sisinya adalah diameter lingkaran tersebut, dan sisi lainnya adalah jari-jari lingkaran.
Dalam kasus ini, diameter = 2r. Maka sisi persegi adalah 2r (panjang) dan r (lebar).
Luas = Luas Setengah Lingkaran + Luas Persegi = (1/2) * pi * r^2 + (2r) * r = (1/2) * pi * r^2 + 2r^2 = r^2 * (pi/2 + 2).
Jika luas = 84.
84 = r^2 * (22/14 + 2) = r^2 * (11/7 + 14/7) = r^2 * (25/7).
r^2 = 84 * 7 / 25 = 588 / 25 = 23.52.
r ≈ 4.85.

Coba interpretasi lain: Daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI DITAMBAH dengan LUAS SETENGAH LINGKARAN yang diameternya adalah SALAH SATU SISI PERSEGI.
Misalkan sisi persegi adalah s. Maka diameter setengah lingkaran adalah s, sehingga r = s/2.
Luas diarsir = s^2 + (1/2) * pi * r^2 = s^2 + (1/2) * pi * (s/2)^2 = s^2 + (1/8) * pi * s^2 = s^2 * (1 + pi/8).
Jika luas = 84.
84 = s^2 * (1 + 22/56) = s^2 * (1 + 11/28) = s^2 * (39/28).
s^2 = 84 * 28 / 39 = (12 * 7) * 28 / (3 * 13) = 4 * 7 * 28 / 13 = 784 / 13 ≈ 60.3.
s ≈ 7.76. r = s/2 ≈ 3.88.

Mari kita coba kemungkinan jika jari-jari adalah 14 cm.
Jika r = 14 cm, maka diameter = 28 cm.
Luas setengah lingkaran = (1/2) * (22/7) * 14^2 = (1/2) * 22 * 2 * 14 = 308 cm^2.
Ini terlalu besar.

Jika jari-jari adalah 7 cm.
Luas setengah lingkaran = 77 cm^2.
Perbedaan 84 - 77 = 7 cm^2.
Jika daerah yang diarsir adalah SETENGAH LINGKARAN DITAMBAH DENGAN PERSEGI PANJANG yang luasnya 7 cm^2.
Jika jari-jari 7 cm, diameter 14 cm.
Jika persegi panjang memiliki sisi 14 cm (sebagai diameter) dan lebar 0.5 cm, maka luasnya 7 cm^2.

Kemungkinan besar, gambar tersebut menunjukkan daerah yang diarsir adalah sebuah persegi ditambah sebuah setengah lingkaran, di mana diameter setengah lingkaran sama dengan sisi persegi.
Misalkan sisi persegi adalah s. Maka diameter setengah lingkaran adalah s, sehingga jari-jari r = s/2.
Luas yang diarsir = Luas Persegi + Luas Setengah Lingkaran
Luas = s^2 + (1/2) * pi * r^2
Luas = s^2 + (1/2) * pi * (s/2)^2
Luas = s^2 + (1/8) * pi * s^2
Luas = s^2 * (1 + pi/8)
Diketahui Luas = 84 cm^2.
84 = s^2 * (1 + (22/7)/8)
84 = s^2 * (1 + 22/56)
84 = s^2 * (1 + 11/28)
84 = s^2 * (39/28)
s^2 = 84 * 28 / 39
s^2 = (12 * 7) * 28 / (3 * 13)
s^2 = 4 * 7 * 28 / 13
s^2 = 784 / 13
s = sqrt(784/13) = 28 / sqrt(13) ≈ 7.76 cm.
jari-jari r = s/2 = 14 / sqrt(13) ≈ 3.88 cm.

Mari kita coba interpretasi lain yang paling umum ditemukan:
Luas daerah yang diarsir adalah LUAS SETENGAH LINGKARAN.
(1/2) * pi * r^2 = 84
r^2 = 168 / pi
Jika r = 7, luas = 77.
Jika r = 14, luas = 308.

Jika daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI.
s^2 = 84.
s = sqrt(84) ≈ 9.16.

Jika daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI PANJANG.
Panjang x Lebar = 84.

Kemungkinan besar, soal ini merujuk pada LUAS PERSEGI ditambah LUAS SETENGAH LINGKARAN, dan diameter setengah lingkaran sama dengan sisi persegi.
Jika jari-jari adalah 7 cm, maka diameter adalah 14 cm. Jika sisi persegi adalah 14 cm.
Luas persegi = 14 * 14 = 196 cm^2.
Luas setengah lingkaran = (1/2) * (22/7) * 7^2 = 77 cm^2.
Total luas = 196 + 77 = 273 cm^2.

Mari kita coba asumsi yang berbeda:
Daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI DITAMBAH SETENGAH LINGKARAN, di mana PANJANG PERSEGI PANJANG sama dengan diameter lingkaran (2r), dan LEBAR PERSEGI PANJANG sama dengan jari-jari lingkaran (r).
Luas = Luas Persegi Panjang + Luas Setengah Lingkaran
Luas = (2r * r) + (1/2) * pi * r^2
Luas = 2r^2 + (1/2) * pi * r^2
Luas = r^2 * (2 + pi/2)
84 = r^2 * (2 + 22/14)
84 = r^2 * (2 + 11/7)
84 = r^2 * (14/7 + 11/7)
84 = r^2 * (25/7)
r^2 = 84 * 7 / 25
r^2 = 588 / 25
r = sqrt(588/25) = sqrt(588) / 5 ≈ 24.25 / 5 ≈ 4.85 cm.

Coba kita pertimbangkan jika jari-jari adalah 14 cm.
Jika r = 14, maka diameter = 28 cm.
Jika persegi panjang memiliki panjang 28 cm dan lebar 14 cm.
Luas persegi panjang = 28 * 14 = 392 cm^2.
Luas setengah lingkaran = (1/2) * (22/7) * 14^2 = 308 cm^2.

Seringkali soal ini mengacu pada LUAS SETENGAH LINGKARAN yang DITAMBAH dengan LUAS PERSEGI, dimana diameter setengah lingkaran sama dengan salah satu sisi persegi.
Misalkan sisi persegi adalah s. Maka diameter setengah lingkaran adalah s, sehingga r = s/2.
Luas diarsir = Luas Setengah Lingkaran + Luas Persegi
Luas = (1/2) * pi * r^2 + s^2
Luas = (1/2) * pi * (s/2)^2 + s^2
Luas = (1/8) * pi * s^2 + s^2
Luas = s^2 * (1 + pi/8)
84 = s^2 * (1 + 22/56)
84 = s^2 * (1 + 11/28)
84 = s^2 * (39/28)
s^2 = 84 * 28 / 39 = 784 / 13.
s = 28 / sqrt(13) ≈ 7.76.
r = s/2 ≈ 3.88.

Kemungkinan lain: daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI PANJANG dikurangi LUAS SETENGAH LINGKARAN.
Misalkan persegi panjang memiliki sisi 2r dan r. Luas = 2r^2.
Luas diarsir = 2r^2 - (1/2) * pi * r^2 = r^2 * (2 - pi/2).
84 = r^2 * (2 - 11/7) = r^2 * (14/7 - 11/7) = r^2 * (3/7).
r^2 = 84 * 7 / 3 = 28 * 7 = 196.
r = 14 cm.

Ini cocok dengan salah satu pilihan! Jika daerah yang diarsir adalah LUAS PERSEGI PANJANG dengan panjang sama dengan diameter lingkaran (2r) dan lebar sama dengan jari-jari lingkaran (r), DIKURANGI dengan LUAS SETENGAH LINGKARAN yang berada di dalamnya.

Jadi, konfigurasi gambar adalah sebuah persegi panjang berukuran 2r x r, dan di dalamnya terdapat setengah lingkaran dengan diameter 2r yang menempel pada sisi panjang. Daerah yang diarsir adalah sisa luas persegi panjang setelah dikurangi setengah lingkaran.
Luas Persegi Panjang = p * l = (2r) * r = 2r^2.
Luas Setengah Lingkaran = (1/2) * pi * r^2 (karena diameternya adalah 2r, jari-jarinya adalah r).
Luas yang diarsir = Luas Persegi Panjang - Luas Setengah Lingkaran
84 = 2r^2 - (1/2) * pi * r^2
84 = r^2 * (2 - pi/2)
Dengan pi = 22/7:
84 = r^2 * (2 - (22/7)/2)
84 = r^2 * (2 - 11/7)
84 = r^2 * (14/7 - 11/7)
84 = r^2 * (3/7)
r^2 = 84 * 7 / 3
r^2 = 28 * 7
r^2 = 196
r = sqrt(196)
r = 14 cm.

Jadi, panjang jari-jari lingkaran adalah 14 cm.