Perhatikan gambar berikut!Pada layang-layang PQRS di atas,

Besar sudut PSR adalah 109 derajat.

Pembahasan

Perhatikan gambar layang-layang PQRS. Diketahui besar sudut SPT = 28 derajat dan sudut QRT = 43 derajat. Kita perlu mencari besar sudut PSR.

Dalam layang-layang, diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus. Salah satu diagonalnya (diagonal vertikal) membagi dua sama besar sudut-sudut yang berhadapan dengan ujung diagonal tersebut. Diagonal lainnya (diagonal horizontal) membagi dua sama besar sudut yang dibentuk oleh kedua sisi yang sama panjang.

Dalam layang-layang PQRS, diagonal PR tegak lurus dengan diagonal QS. Diagonal PR membagi sudut P dan sudut R menjadi dua sama besar. Diagonal QS membagi sudut Q dan sudut S menjadi dua sama besar.

Dari informasi yang diberikan:
Sudut SPT = 28 derajat. Karena diagonal PR membagi sudut P, maka sudut QPS = 2 * sudut SPT = 2 * 28 = 56 derajat.
Sudut QRT = 43 derajat. Karena diagonal PR membagi sudut R, maka sudut QRS = 2 * sudut QRT = 2 * 43 = 86 derajat.

Jumlah sudut dalam sebuah segi empat (termasuk layang-layang) adalah 360 derajat.
Jadi, sudut PQR + sudut QRS + sudut RSP + sudut SPQ = 360 derajat.

Kita perlu mencari sudut PSR. Sudut PSR adalah sudut yang dibentuk oleh sisi PS dan SR.

Perhatikan segitiga PQS dan segitiga RQS. Atau, kita bisa menggunakan sifat layang-layang di mana sepasang sudut yang berhadapan sama besar jika diagonalnya membagi sudut tersebut.

Dalam layang-layang PQRS, sudut PQR dan sudut PSR tidak selalu sama. Namun, sudut QPS dan sudut QRS tidak sama, kecuali jika layang-layang tersebut adalah belah ketupat.

Kita perlu menggunakan informasi bahwa diagonal-diagonal berpotongan tegak lurus. Misalkan titik potongnya adalah O.

Dalam segitiga siku-siku SPO, sudut PSO = 90 - sudut SPO = 90 - 28 = 62 derajat. Ini salah, karena O bukan sudut siku-siku dalam konteks ini.

Kita tahu bahwa diagonal PR membagi sudut P dan sudut R. Diagonal QS membagi sudut Q dan sudut S.

Namun, dari gambar, tampaknya diagonal QS yang membagi sudut Q dan S, dan diagonal PR yang membagi sudut P dan R. Sehingga sudut QPS = 2 * sudut SPT = 56 derajat. Dan sudut QRS = 2 * sudut QRT = 86 derajat.

Perhatikan segitiga siku-siku di titik potong diagonal. Misalkan titik potong diagonal adalah O.

Dalam segitiga siku-siku PSO, sudut SPO = 28 derajat. Sudut POS = 90 derajat. Maka sudut PSO = 180 - 90 - 28 = 62 derajat.
Karena diagonal QS membagi sudut S, maka sudut QSP = sudut PSO = 62 derajat.

Dalam segitiga siku-siku QRO, sudut QRO = 43 derajat. Sudut QOR = 90 derajat. Maka sudut RQO = 180 - 90 - 43 = 47 derajat.
Karena diagonal QS membagi sudut Q, maka sudut PQS = sudut RQO = 47 derajat.

Sekarang kita bisa mencari sudut PSR.
Sudut PSR = Sudut PSQ + Sudut RSQ.
Karena diagonal QS membagi sudut S, maka sudut PSQ = sudut RSQ. Ini berarti sudut PSR = 2 * sudut PSQ.

Kita perlu mengklarifikasi sifat layang-layang yang diberikan.
Dalam layang-layang, sepasang sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang tidak sama panjang adalah sama besar. Dalam hal ini, sudut PQR = sudut PSR.

Jika sudut PQR = sudut PSR, maka kita bisa mencari sudut PQR dan PSR jika kita mengetahui sudut yang lain.

Jumlah sudut dalam layang-layang adalah 360 derajat.
Sudut SPQ + Sudut PQR + Sudut QRS + Sudut RSP = 360

Kita perlu memastikan interpretasi dari sudut SPT dan QRT.
Jika SPT adalah bagian dari sudut P, dan QRT adalah bagian dari sudut R, dan PR adalah diagonal yang membagi sudut P dan R:
Sudut P = 2 * SPT = 2 * 28 = 56 derajat.
Sudut R = 2 * QRT = 2 * 43 = 86 derajat.

Dalam layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar. Biasanya, sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang sama panjang adalah sama besar. Dalam PQRS, PQ = PS dan RQ = RS. Maka, sudut PQR = sudut PSR.

Jika demikian, maka:
Sudut SPQ + Sudut PQR + Sudut QRS + Sudut PSR = 360
56 + Sudut PQR + 86 + Sudut PSR = 360
Karena Sudut PQR = Sudut PSR, kita bisa mengganti:
56 + Sudut PSR + 86 + Sudut PSR = 360
142 + 2 * Sudut PSR = 360
2 * Sudut PSR = 360 - 142
2 * Sudut PSR = 218
Sudut PSR = 218 / 2
Sudut PSR = 109 derajat.

Namun, jika interpretasi soal adalah bahwa sudut SPT dan QRT adalah sudut yang dibentuk oleh diagonal-diagonalnya, maka:
Misalkan O adalah titik potong diagonal. Sudut SPO = 28, sudut QRO = 43.
Dalam segitiga siku-siku PSO, sudut POS = 90. Maka sudut PSO = 180 - 90 - 28 = 62 derajat.
Dalam segitiga siku-siku QRO, sudut QOR = 90. Maka sudut RQO = 180 - 90 - 43 = 47 derajat.

Jika layang-layang memiliki simetri pada diagonal PR (yang membagi sudut P dan R), maka sudut PQR = sudut PSR.
Jika diagonal QS membagi sudut Q dan S, maka sudut PQS = sudut RQS dan sudut QPS = sudut QRS.

Berdasarkan gambar dan penamaan sudut SPT dan QRT, lebih mungkin bahwa PR adalah diagonal yang membagi sudut P dan R, dan QS adalah diagonal yang membagi sudut Q dan S.

Jika diagonal PR membagi sudut P dan R, maka:
Sudut QPS = 2 * Sudut SPT = 2 * 28 = 56 derajat.
Sudut QRS = 2 * Sudut QRT = 2 * 43 = 86 derajat.

Dalam layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar, yaitu sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang sama panjang. Dalam hal ini, PQ=PS dan RQ=RS, maka sudut PQR = sudut PSR.

Jumlah total sudut dalam layang-layang adalah 360 derajat.
Sudut QPS + Sudut PQR + Sudut QRS + Sudut PSR = 360
56 + Sudut PQR + 86 + Sudut PSR = 360

Karena Sudut PQR = Sudut PSR:
56 + Sudut PSR + 86 + Sudut PSR = 360
142 + 2 * Sudut PSR = 360
2 * Sudut PSR = 360 - 142
2 * Sudut PSR = 218
Sudut PSR = 109 derajat.

Jadi, besar sudut PSR adalah 109 derajat.