Perhatikan gambar berikut. Y P(x,y) y r alpha O x X. Dengan

Bukti: Substitusikan x = r cos(a) dan y = r sin(a) ke dalam sin^2(a) + cos^2(a) = 1, menghasilkan (y/r)^2 + (x/r)^2 = 1, yang disederhanakan menjadi x^2 + y^2 = r^2.

Pembahasan

Dalam identitas trigonometri, identitas fundamental yang menghubungkan sinus dan kosinus adalah sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Identitas ini berlaku untuk setiap sudut 'a'.

Untuk membuktikan x^2 + y^2 = r^2 menggunakan identitas ini, kita perlu merujuk pada definisi koordinat kartesius (x, y) dan koordinat polar (r, a), di mana:
- x adalah proyeksi titik pada sumbu x, yang berhubungan dengan kosinus sudut (x = r * cos(a))
- y adalah proyeksi titik pada sumbu y, yang berhubungan dengan sinus sudut (y = r * sin(a))
- r adalah jarak dari titik asal (O) ke titik P, yang merupakan jari-jari atau hipotenusa.

Substitusikan definisi x dan y ke dalam identitas sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

Karena x = r * cos(a), maka cos(a) = x / r. Kuadratkan kedua sisi: cos^2(a) = (x / r)^2 = x^2 / r^2.
Karena y = r * sin(a), maka sin(a) = y / r. Kuadratkan kedua sisi: sin^2(a) = (y / r)^2 = y^2 / r^2.

Sekarang, substitusikan ekspresi untuk sin^2(a) dan cos^2(a) ke dalam identitas fundamental:
(y^2 / r^2) + (x^2 / r^2) = 1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan r^2 untuk menghilangkan penyebut:
y^2 + x^2 = r^2

Dengan demikian, terbukti bahwa x^2 + y^2 = r^2.