Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut. y=f(x) Jika

$(a+3, -9k)$

Pembahasan

Misalkan titik-titik potong sumbu-X adalah $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$.
Diketahui dari soal bahwa titik-titik tersebut adalah A(a, 0) dan B(a+6, 0).
Ini berarti $x_1 = a$ dan $x_2 = a+6$.

Koordinat titik puncak sebuah fungsi kuadrat $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ diberikan oleh $(-rac{B}{2A}, f(-rac{B}{2A}))$.
Sumbu simetri dari parabola adalah $x = -rac{B}{2A}$. Sumbu simetri ini juga merupakan absis dari titik puncak.

Untuk fungsi kuadrat yang memotong sumbu-X di $x_1$ dan $x_2$, sumbu simetrinya berada tepat di tengah antara kedua akar tersebut. Jadi, absis dari titik puncak adalah:
$x_{puncak} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Substitusikan nilai $x_1$ dan $x_2$ yang diketahui:
$x_{puncak} = \frac{a + (a+6)}{2}$
$x_{puncak} = \frac{2a + 6}{2}$
$x_{puncak} = a + 3$

Sekarang kita perlu mencari ordinat dari titik puncak, yaitu $y_{puncak} = f(x_{puncak}) = f(a+3)$.
Karena kita tidak diberikan bentuk eksplisit dari fungsi kuadrat $f(x)$, kita hanya bisa menentukan absis dari titik puncak. Namun, soal menanyakan "koordinat titik puncak grafik fungsi f yang mungkin". Ini menyiratkan bahwa kita perlu mencari nilai $y_{puncak}$.

Sebuah fungsi kuadrat yang memotong sumbu-X di A(a, 0) dan B(a+6, 0) dapat ditulis dalam bentuk faktorisasi sebagai:
$f(x) = k(x - a)(x - (a+6))$, di mana $k$ adalah konstanta.

Sekarang kita substitusikan $x = a+3$ ke dalam persamaan ini untuk mencari $y_{puncak}$:
$y_{puncak} = f(a+3) = k((a+3) - a)((a+3) - (a+6))$
$y_{puncak} = k(3)(-3)$
$y_{puncak} = -9k$

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah $(a+3, -9k)$.
Karena nilai $k$ bisa positif atau negatif (tergantung apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah), nilai $y_{puncak}$ bisa positif atau negatif. Namun, karena parabola memotong sumbu-X di dua titik, maka titik puncaknya tidak boleh berada di sumbu-X, sehingga $y_{puncak} 
eq 0$. Jika $k>0$, parabola terbuka ke atas dan puncaknya di bawah sumbu-X, $y_{puncak}$ negatif. Jika $k<0$, parabola terbuka ke bawah dan puncaknya di atas sumbu-X, $y_{puncak}$ positif.

Contoh:
Jika $a=1$, maka titik potongnya adalah (1,0) dan (7,0). Sumbu simetri adalah $x = (1+7)/2 = 4$. Titik puncaknya adalah (4, f(4)).
Jika $f(x) = (x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$, maka $k=1$. Puncaknya di $x=4$. $f(4) = (4-1)(4-7) = 3(-3) = -9$. Jadi, puncaknya (4, -9).
Dalam bentuk umum $a+3$, ini menjadi $1+3 = 4$. Dan $-9k$ menjadi $-9(1) = -9$.

Jadi, koordinat titik puncak grafik fungsi f yang mungkin adalah $(a+3, -9k)$, di mana $k$ adalah konstanta sembarang (selain 0).