Perhatikan kembali barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

Rumus Binet Fn = [((1 + akar(5))/2)^n - ((1 - akar(5))/2)^n] / akar(5) dibuktikan menggunakan persamaan karakteristik dari relasi rekursif Fn = Fn-1 + Fn-2 dan kondisi awal F1=1, F2=1.

Pembahasan

Barisan Fibonacci adalah barisan bilangan dimana setiap suku setelah suku kedua adalah jumlah dari dua suku sebelumnya. Dimulai dengan 1 dan 1, barisan ini adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dan seterusnya. Secara matematis, suku ke-n (Fn) didefinisikan sebagai Fn = Fn-1 + Fn-2, dengan F1 = 1 dan F2 = 1. 

Rumus eksplisit untuk suku ke-n barisan Fibonacci, yang dikenal sebagai rumus Binet, adalah: Fn = [((1 + akar(5))/2)^n - ((1 - akar(5))/2)^n] / akar(5).

Untuk membuktikan rumus ini, kita dapat menggunakan induksi matematika atau dengan menganalisis persamaan karakteristik dari relasi rekursif. Persamaan karakteristik untuk Fn = Fn-1 + Fn-2 adalah r^2 = r + 1, atau r^2 - r - 1 = 0. Akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah r1 = (1 + akar(5))/2 dan r2 = (1 - akar(5))/2. 

Solusi umum dari relasi rekursif ini berbentuk Fn = A * r1^n + B * r2^n. Dengan menggunakan kondisi awal F1 = 1 dan F2 = 1, kita dapat menyelesaikan untuk konstanta A dan B. 

Untuk n=1: 1 = A * ((1 + akar(5))/2) + B * ((1 - akar(5))/2)
Untuk n=2: 1 = A * ((1 + akar(5))/2)^2 + B * ((1 - akar(5))/2)^2

Setelah menyelesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B, kita akan mendapatkan A = 1/akar(5) dan B = -1/akar(5). 

Menggantikan nilai A dan B kembali ke dalam solusi umum, kita mendapatkan rumus Binet: Fn = (1/akar(5)) * ((1 + akar(5))/2)^n - (1/akar(5)) * ((1 - akar(5))/2)^n, yang dapat disederhanakan menjadi Fn = [((1 + akar(5))/2)^n - ((1 - akar(5))/2)^n] / akar(5).

Meskipun rumus ini melibatkan bilangan irasional (akar(5)), hasil akhirnya selalu merupakan bilangan bulat karena pembagian dengan akar(5) menghilangkan bagian irasionalnya, menghasilkan bilangan bulat yang merupakan suku-suku barisan Fibonacci. Hal ini menunjukkan bagaimana bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan rasional atau bulat dalam konteks matematika tertentu.