Pernyataan 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + ... + 1/(2n-1)(2n+1)=...

Jumlah deretnya adalah n / (2n+1).

Pembahasan

Pernyataan tersebut merupakan deret teleskopik. Untuk menemukan jumlahnya, kita dapat memisahkan suku umum menjadi pecahan parsial.
Suku umum: 1 / ((2n-1)(2n+1))

Dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial:
1 / ((2n-1)(2n+1)) = A / (2n-1) + B / (2n+1)
1 = A(2n+1) + B(2n-1)

Jika n = 1/2:
1 = A(2(1/2)+1) + B(0)
1 = A(2)
A = 1/2

Jika n = -1/2:
1 = A(0) + B(2(-1/2)-1)
1 = B(-2)
B = -1/2

Jadi, suku umum dapat ditulis sebagai: 1/2 * (1/(2n-1) - 1/(2n+1))

Sekarang, mari kita jumlahkan deretnya:
S = Σ [1/2 * (1/(2n-1) - 1/(2n+1))] untuk n = 1 sampai N

S = 1/2 * [ (1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/(2N-1) - 1/(2N+1)) ]

Perhatikan bahwa suku-suku di dalam kurung saling menghilangkan (teleskopik).
S = 1/2 * [ 1/1 - 1/(2N+1) ]
S = 1/2 * [ (2N+1 - 1) / (2N+1) ]
S = 1/2 * [ 2N / (2N+1) ]
S = N / (2N+1)

Jadi, 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + ... + 1/(2n-1)(2n+1) = n / (2n+1)