Persamaan garis singgung di titik (k,1) pada lingkaran

Nilai k adalah 3.

Pembahasan

Lingkaran yang diberikan memiliki persamaan x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0. Untuk mencari garis singgung di titik (k, 1), pertama-tama kita substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran untuk memastikan titik tersebut berada pada lingkaran. Namun, kita diberikan bahwa garis singgungnya adalah y=1, yang merupakan garis horizontal. Garis singgung lingkaran di titik tertentu tegak lurus terhadap jari-jari yang melalui titik tersebut. Pusat lingkaran dapat ditemukan dengan melengkapkan kuadrat: (x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0 -> (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0 -> (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4. Jadi, pusat lingkaran adalah (3, -1) dan jari-jarinya adalah 2. Jika titik (k, 1) berada pada lingkaran dan garis singgungnya adalah y = 1 (garis horizontal), maka jari-jari yang menghubungkan pusat (3, -1) ke titik (k, 1) harus vertikal. Ini berarti koordinat x dari pusat dan titik singgung harus sama. Oleh karena itu, k = 3. Kita bisa memverifikasi ini dengan mensubstitusikan (3, 1) ke dalam persamaan lingkaran: 3^2 + 1^2 - 6(3) + 2(1) + 6 = 9 + 1 - 18 + 2 + 6 = 18 - 18 = 0. Titik (3, 1) memang berada pada lingkaran. Garis singgung horizontal y=1 di titik (3,1) tegak lurus terhadap jari-jari vertikal yang menghubungkan pusat (3,-1) ke (3,1).