Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (-2,4)

Persamaan garis singgung yang tepat adalah 2x - y - 7 = 0, yang tidak terdapat pada pilihan jawaban. Namun, jika ada kesalahan pengetikan pada soal atau pilihan, perlu klarifikasi lebih lanjut.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (-2,4) dan melalui titik (4,1) serta sejajar dengan garis 2x - y + 3 = 0, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Tentukan gradien garis singgung:** Karena garis singgung sejajar dengan garis 2x - y + 3 = 0, gradiennya sama. Ubah persamaan garis menjadi bentuk y = mx + c untuk menemukan gradiennya: y = 2x + 3. Jadi, gradien (m) adalah 2.

2.  **Tentukan gradien jari-jari yang tegak lurus dengan garis singgung:** Gradien garis singgung (m1) adalah 2. Gradien jari-jari (m2) yang tegak lurus dengan garis singgung memiliki hubungan m1 * m2 = -1. Maka, 2 * m2 = -1, sehingga m2 = -1/2.

3.  **Hitung jari-jari lingkaran:** Jari-jari adalah jarak dari pusat lingkaran (-2,4) ke titik singgung (4,1). Menggunakan rumus jarak:
r = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
r = sqrt((4 - (-2))^2 + (1 - 4)^2)
r = sqrt((4 + 2)^2 + (-3)^2)
r = sqrt(6^2 + 9)
r = sqrt(36 + 9)
r = sqrt(45)

4.  **Gunakan rumus persamaan garis singgung:** Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r yang sejajar dengan garis y = mx + c adalah y - b = m(x - a) ± r * sqrt(m^2 + 1). Namun, ini jika garis singgungnya sejajar dengan garis lain, bukan jika melalui titik tertentu. 

Kita punya titik singgung (4,1) dan gradien garis singgung adalah 2. Kita bisa menggunakan persamaan garis dengan gradien tertentu: y - y1 = m(x - x1).

y - 1 = 2(x - 4)
y - 1 = 2x - 8
y = 2x - 7

Susun ulang ke bentuk Ax + By + C = 0:
2x - y - 7 = 0. 

Namun, soal meminta persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (-2,4) dan melalui titik (4,1) DENGAN SYARAT sejajar garis 2x-y+3=0. Jadi gradien garis singgung adalah 2.

Kita perlu mencari persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (4,1). Persamaan garisnya adalah y - 1 = 2(x - 4) -> y - 1 = 2x - 8 -> 2x - y - 7 = 0.

Mari kita periksa apakah titik (-2,4) adalah pusat lingkaran yang garis singgungnya melalui (4,1) dan bergradien 2.

Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
Dalam kasus ini, pusatnya adalah (-2,4).
Titik singgungnya adalah (4,1).
Gradien garis singgung adalah 2.

Jika (4,1) adalah titik singgung, maka jari-jari dari pusat (-2,4) ke (4,1) harus tegak lurus dengan garis singgung. Gradien jari-jari adalah (1-4)/(4-(-2)) = -3/6 = -1/2. Gradien garis singgung adalah 2. Perkalian gradiennya adalah (-1/2) * 2 = -1, yang berarti tegak lurus. Jadi (4,1) memang titik singgung.

Jari-jari kuadrat (r^2) adalah jarak kuadrat dari pusat (-2,4) ke titik singgung (4,1):
r^2 = (4 - (-2))^2 + (1 - 4)^2 = (6)^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45.

Persamaan lingkarannya adalah (x - (-2))^2 + (y - 4)^2 = 45
(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 45.

Sekarang, kita cari persamaan garis singgung yang berpusat di (-2,4) dan melalui titik (4,1) yang sejajar dengan 2x - y + 3 = 0. Gradien garis singgung adalah 2.

Kita bisa gunakan rumus umum persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah xx1 + yy1 + A(x+x1) + B(y+y1) + C = 0.

Atau, kita cari persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (4,1).
Persamaan garis singgung tersebut adalah y - y1 = m(x - x1)
y - 1 = 2(x - 4)
y - 1 = 2x - 8
y = 2x - 7

Dalam bentuk Ax + By + C = 0, ini menjadi 2x - y - 7 = 0.

Mari kita cek pilihan jawaban yang diberikan:
a. 2x - y + 8 = 0
b. 2x + y - 23 = 0
c. 2x - y + 7 = 0
d. 2x + y + 23 = 0
e. -2x + y + 23 = 0

Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan atau opsi jawaban. Mari kita cek kembali menggunakan rumus lain.

Persamaan garis singgung lingkaran (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 di titik (x1, y1) adalah (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r^2.

Dengan pusat (-2,4), titik singgung (4,1), dan r^2 = 45:
(4 - (-2))(x - (-2)) + (1 - 4)(y - 4) = 45
(6)(x + 2) + (-3)(y - 4) = 45
6x + 12 - 3y + 12 = 45
6x - 3y + 24 = 45
6x - 3y - 21 = 0
Bagi dengan 3:
2x - y - 7 = 0.

Saya mencurigai ada kesalahan pada opsi jawaban yang diberikan. Jika kita harus memilih dari opsi yang ada, mari kita periksa apakah ada yang memiliki gradien 2 dan melalui titik (4,1).

Untuk opsi a: 2x - y + 8 = 0 -> y = 2x + 8. Gradien = 2. Substitusi (4,1): 1 = 2(4) + 8 -> 1 = 8 + 8 -> 1 = 16 (Salah).

Untuk opsi c: 2x - y + 7 = 0 -> y = 2x + 7. Gradien = 2. Substitusi (4,1): 1 = 2(4) + 7 -> 1 = 8 + 7 -> 1 = 15 (Salah).

Ada kemungkinan titik (4,1) BUKAN titik singgung, tetapi hanya sebuah titik yang dilalui garis singgung, dan garis singgung tersebut sejajar dengan 2x - y + 3 = 0, serta berpusat di (-2,4).

Jika garis singgung berpusat di (-2,4) dan sejajar dengan 2x - y + 3 = 0, maka gradiennya adalah 2. Persamaan garis singgungnya adalah y - 4 = 2(x - (-2)) ± r * sqrt(2^2 + 1).

Kita perlu mencari r. Jari-jari adalah jarak dari pusat (-2,4) ke titik singgung. Misalkan titik singgung adalah (x1, y1). Gradien jari-jari dari (-2,4) ke (x1, y1) adalah (y1-4)/(x1+2), dan ini harus -1/2.
(y1 - 4) / (x1 + 2) = -1/2
2(y1 - 4) = -(x1 + 2)
2y1 - 8 = -x1 - 2
x1 + 2y1 = 6

Dan titik (x1, y1) berada pada lingkaran (x1+2)^2 + (y1-4)^2 = r^2.

Jika kita kembali ke asumsi bahwa (4,1) adalah titik singgung, maka persamaan garis singgungnya adalah 2x - y - 7 = 0. Mari kita periksa ulang soal dan opsi.

Kemungkinan besar, soalnya mengacu pada garis singgung yang melewati titik (4,1) DAN berpusat di (-2,4) DAN sejajar dengan 2x-y+3=0. Jika (4,1) adalah titik singgung, maka persamaan yang kita dapatkan adalah 2x - y - 7 = 0. Ini tidak ada di pilihan.

Mari kita coba cara lain. Persamaan garis singgung yang sejajar dengan 2x - y + 3 = 0 adalah 2x - y + C = 0. Jarak dari pusat (-2,4) ke garis 2x - y + C = 0 harus sama dengan jari-jari.
Jari-jari kuadrat (r^2) adalah 45 (dari perhitungan sebelumnya).
Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Jarak dari (-2,4) ke 2x - y + C = 0 adalah |2(-2) - 4 + C| / sqrt(2^2 + (-1)^2) = |-4 - 4 + C| / sqrt(4+1) = |C - 8| / sqrt(5).

Jarak ini harus sama dengan jari-jari r = sqrt(45).
|C - 8| / sqrt(5) = sqrt(45)
|C - 8| = sqrt(5) * sqrt(45) = sqrt(5 * 45) = sqrt(225) = 15.

Jadi, C - 8 = 15 atau C - 8 = -15.
C = 15 + 8 = 23 atau C = -15 + 8 = -7.

Persamaan garis singgungnya adalah 2x - y + 23 = 0 atau 2x - y - 7 = 0.

Sekarang kita perlu memeriksa apakah salah satu dari garis ini melalui titik (4,1).

Untuk 2x - y + 23 = 0:
2(4) - 1 + 23 = 8 - 1 + 23 = 7 + 23 = 30. (Tidak sama dengan 0).

Untuk 2x - y - 7 = 0:
2(4) - 1 - 7 = 8 - 1 - 7 = 7 - 7 = 0. (Sesuai).

Jadi, persamaan garis singgung yang memenuhi adalah 2x - y - 7 = 0. Namun, ini tidak ada di pilihan.

Mari kita periksa kembali soalnya.