Persamaan garis singgung pada kurva g(x)=2 sec 2x pada

$y = 8\sqrt{3}x - \frac{8\pi\sqrt{3}}{3} - 4$

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva $g(x) = 2 \sec(2x)$ pada titik berabsis $x = \frac{\pi}{3}$, kita perlu mencari gradien (turunan pertama) dari fungsi tersebut dan nilai $y$ pada titik tersebut.
1. Cari turunan pertama $g'(x)$: Turunan dari $\sec(u)$ adalah $\sec(u)\tan(u) \cdot u'$. Dalam kasus ini, $u = 2x$, sehingga $u' = 2$.
Maka, $g'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\sec(2x)) = 2 \cdot (\sec(2x)\tan(2x) \cdot 2) = 4\sec(2x)\tan(2x)$.
2. Hitung gradien pada $x = \frac{\pi}{3}$: $g'(\frac{\pi}{3}) = 4\sec(2 \cdot \frac{\pi}{3})\tan(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 4\sec(\frac{2\pi}{3})\tan(\frac{2\pi}{3})$.
Kita tahu bahwa $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -1/2$, sehingga $\sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$. Dan $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3}/2$, sehingga $\tan(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$.
Maka, gradien $m = 4(-2)(-\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
3. Cari nilai $y$ pada $x = \frac{\pi}{3}$: $g(\frac{\pi}{3}) = 2\sec(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sec(\frac{2\pi}{3}) = 2(-2) = -4$.
Jadi, titik singgungnya adalah $(\frac{\pi}{3}, -4)$.
4. Gunakan persamaan garis singgung $y - y_1 = m(x - x_1)$: $y - (-4) = 8\sqrt{3}(x - \frac{\pi}{3})$
$y + 4 = 8\sqrt{3}x - \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$
$y = 8\sqrt{3}x - \frac{8\pi\sqrt{3}}{3} - 4$.