Persamaan vektor dari garis yang melalui titik A(6,2) dan

r = (6+2t)i + (2+t)j

Pembahasan

Untuk mencari persamaan vektor garis yang melalui titik A(6,2) dan tegak lurus dengan garis r = (4-2t)i + (1+4t)j, kita perlu mencari gradien dari garis yang diketahui terlebih dahulu.
Garis yang diketahui memiliki persamaan vektor r = (4-2t)i + (1+4t)j. Bentuk umum persamaan vektor garis adalah r = r0 + tv, di mana r0 adalah vektor posisi titik yang dilalui garis dan v adalah vektor arah garis. Dari persamaan tersebut, kita dapat melihat bahwa vektor arah garis yang diketahui adalah v = -2i + 4j. Gradien (m) dari garis ini dapat dihitung dari komponen vektor arahnya, yaitu m = (perubahan y) / (perubahan x) = 4 / -2 = -2.

Karena garis yang kita cari tegak lurus dengan garis ini, maka gradiennya adalah kebalikan negatif dari gradien garis yang diketahui. Gradien (m') dari garis yang tegak lurus adalah m' = -1/m = -1/(-2) = 1/2.

Garis yang kita cari melalui titik A(6,2) dengan gradien 1/2. Kita dapat menggunakan bentuk persamaan garis y - y1 = m'(x - x1).
Mengganti nilai y1=2, x1=6, dan m'=1/2, kita dapatkan: y - 2 = 1/2(x - 6)
Kalikan kedua sisi dengan 2: 2(y - 2) = x - 6
2y - 4 = x - 6
x - 2y - 2 = 0

Untuk mengubahnya ke dalam bentuk vektor, kita bisa menyatakan x dan y dalam parameter t.
Misalkan vektor posisi dari titik yang dilalui garis adalah r = xi + yj.
Dari persamaan x - 2y - 2 = 0, kita bisa membuat substitusi. Salah satu cara adalah dengan menyatakan x dalam bentuk y atau sebaliknya. Misalnya, x = 2y + 2.
Jika kita pilih y sebagai parameter (misal y = s), maka x = 2s + 2. Vektor posisi r dapat ditulis sebagai r = (2s + 2)i + sj.
Ini dapat dipecah menjadi vektor posisi dari suatu titik pada garis dan vektor arah garis:
r = (2i + 0j) + s(2i + 1j).
Ini adalah persamaan vektor garis yang melalui titik (2,0) dengan vektor arah 2i + j.

Namun, soal menyatakan garis melalui titik A(6,2). Mari kita gunakan titik A(6,2) dan gradien m' = 1/2 untuk menemukan persamaan vektornya.
Persamaan garis dalam bentuk cartesius adalah x - 2y - 2 = 0.
Kita perlu mencari persamaan vektor r = r0 + tv, di mana r0 adalah vektor posisi titik yang dilalui dan v adalah vektor arah.
Karena garis melalui A(6,2), maka r0 bisa kita ambil sebagai vektor posisi A, yaitu r0 = 6i + 2j.
Gradiennya adalah 1/2, yang berarti untuk setiap perubahan 2 pada arah x, ada perubahan 1 pada arah y. Jadi, vektor arahnya bisa v = 2i + 1j.
Dengan demikian, persamaan vektornya adalah r = (6i + 2j) + t(2i + 1j).
Atau, r = (6+2t)i + (2+t)j.