Tentukan batas-batas nilai m agar persamaan berikut dapat

$m < -1$ atau $m \ge 3$

Pembahasan

Untuk menentukan batas-batas nilai m agar persamaan $cos x + (m/(m+1))sin x = (m+2)/(m+1)$ dapat diselesaikan, kita perlu mengubah persamaan ini ke dalam bentuk standar $R 	ext{cos}(x - \alpha)$ atau $R 	ext{sin}(x + \alpha)$.

Persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
$cos x + \frac{m}{m+1}sin x = \frac{m+2}{m+1}$

Kalikan kedua sisi dengan $(m+1)$ untuk menghilangkan penyebut (dengan syarat $m \neq -1$):
$(m+1)cos x + m 	ext{sin } x = m+2$

Kita bisa menggunakan metode perbandingan koefisien untuk bentuk $A 	ext{cos } x + B 	ext{sin } x = C$.
Dalam kasus ini, $A = m+1$, $B = m$, dan $C = m+2$.

Agar persamaan $A 	ext{cos } x + B 	ext{sin } x = C$ memiliki solusi, harus memenuhi syarat $A^2 + B^2 \ge C^2$.

Menerapkan syarat ini pada persamaan kita:
$(m+1)^2 + m^2 \ge (m+2)^2$

Jabarkan kuadratnya:
$(m^2 + 2m + 1) + m^2 \ge (m^2 + 4m + 4)$
$2m^2 + 2m + 1 \ge m^2 + 4m + 4$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$2m^2 - m^2 + 2m - 4m + 1 - 4 \ge 0$
$m^2 - 2m - 3 \ge 0$

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat ini:
$(m - 3)(m + 1) \ge 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita cari akar-akarnya, yaitu $m = 3$ dan $m = -1$.
Kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini:
1. $m < -1$: Ambil $m = -2$. $(-2-3)(-2+1) = (-5)(-1) = 5 \ge 0$ (Benar)
2. $-1 \le m \le 3$: Ambil $m = 0$. $(0-3)(0+1) = (-3)(1) = -3 \ge 0$ (Salah)
3. $m > 3$: Ambil $m = 4$. $(4-3)(4+1) = (1)(5) = 5 \ge 0$ (Benar)

Hasilnya adalah $m \le -1$ atau $m \ge 3$.

Namun, kita harus ingat bahwa kita mengalikan dengan $(m+1)$ dengan syarat $m \neq -1$. Jadi, kita harus mengecualikan $m=-1$ dari solusi pertama.

Oleh karena itu, batas-batas nilai m agar persamaan dapat diselesaikan adalah $m < -1$ atau $m \ge 3$.

Perlu diperhatikan juga kasus ketika $m+1 = 0$, yaitu $m=-1$. Jika $m=-1$, persamaan menjadi $cos x + \frac{-1}{-1+1}sin x = \frac{-1+2}{-1+1}$, yang menghasilkan pembagian dengan nol, sehingga tidak terdefinisi.

Jadi, batas-batas nilai m adalah $m < -1$ atau $m \ge 3$.