Pertidaksamaan 6log(x^2-2x+21)< 2 mempunyai penyelesaian

$-3 < x < 5$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $^6	ext{log}(x^2-2x+21) < 2$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan domain logaritma:** Argumen logaritma harus positif. Jadi, $x^2-2x+21 > 0$.
    Untuk memeriksa tanda dari $x^2-2x+21$, kita bisa melihat diskriminannya ($D = b^2-4ac$).
    $D = (-2)^2 - 4(1)(21) = 4 - 84 = -80$.
    Karena diskriminan negatif dan koefisien $x^2$ positif (yaitu 1), maka ekspresi $x^2-2x+21$ selalu positif untuk semua nilai real $x$.
    Jadi, domain pertidaksamaan ini adalah semua bilangan real ($x 
eq 	ext{bilangan real}$).

2.  **Ubah bentuk pertidaksamaan:**
    $^6	ext{log}(x^2-2x+21) < 2$
    Kita bisa mengubah angka 2 menjadi bentuk logaritma dengan basis 6:
    $2 = ^6	ext{log}(6^2) = ^6	ext{log}(36)$.
    Sehingga pertidaksamaan menjadi:
    $^6	ext{log}(x^2-2x+21) < ^6	ext{log}(36)$.

3.  **Selesaikan pertidaksamaan:**
    Karena basis logaritma (6) lebih besar dari 1, maka fungsi logaritma adalah fungsi naik. Ini berarti jika $^b	ext{log}(A) < ^b	ext{log}(B)$ dan $b>1$, maka $A < B$.
    Oleh karena itu, kita dapat menghilangkan logaritma dari kedua sisi:
    $x^2-2x+21 < 36$

4.  **Pindahkan semua suku ke satu sisi:**
    $x^2-2x+21 - 36 < 0$
    $x^2-2x-15 < 0$

5.  **Faktorkan kuadratik:**
    Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -15 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -5 dan 3.
    $(x-5)(x+3) < 0$

6.  **Tentukan interval solusi:**
    Untuk menyelesaikan $(x-5)(x+3) < 0$, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu, yaitu $x=5$ dan $x=-3$.
    Kita bisa menguji nilai $x$ di tiga interval yang dibentuk oleh akar-akar ini:
    *   Jika $x < -3$ (misalnya $x=-4$): $(-4-5)(-4+3) = (-9)(-1) = 9 > 0$.
    *   Jika $-3 < x < 5$ (misalnya $x=0$): $(0-5)(0+3) = (-5)(3) = -15 < 0$.
    *   Jika $x > 5$ (misalnya $x=6$): $(6-5)(6+3) = (1)(9) = 9 > 0$.

    Pertidaksamaan $(x-5)(x+3) < 0$ terpenuhi ketika $-3 < x < 5$.

Karena domain pertidaksamaan adalah semua bilangan real, maka penyelesaian pertidaksamaan $^6	ext{log}(x^2-2x+21) < 2$ adalah ketika $-3 < x < 5$.