Pertidaksamaan x^2 - 6x -2/x+3, x e R mempunyai

$x \in (-\infty, -3) \cup [3 - \sqrt{11}, 3 + \sqrt{11}]$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional $\frac{x^2 - 6x - 2}{x+3} \le 0$, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut, lalu menguji interval yang terbentuk.

1.  **Akar pembilang:**
    Cari akar dari $x^2 - 6x - 2 = 0$.
    Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
    $x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
    $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2}$
    $x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2}$
    $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2}$
    $x = 3 \pm \sqrt{11}$
    Jadi, akar pembilangnya adalah $x_1 = 3 - \sqrt{11}$ (sekitar -0.317) dan $x_2 = 3 + \sqrt{11}$ (sekitar 6.317).

2.  **Akar penyebut:**
    Cari akar dari $x+3 = 0$.
    $x = -3$.
    Penting diingat bahwa $x = -3$ membuat penyebut nol, sehingga nilai ini tidak termasuk dalam solusi.

3.  **Uji interval:**
    Kita memiliki tiga titik kritis: -3, $3 - \sqrt{11}$, dan $3 + \sqrt{11}$. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi empat interval:
    a. $x < -3$
    b. $-3 < x \le 3 - \sqrt{11}$
    c. $3 - \sqrt{11} \le x \le 3 + \sqrt{11}$
    d. $x \ge 3 + \sqrt{11}$

    Kita uji nilai dari setiap interval ke dalam pertidaksamaan $\frac{x^2 - 6x - 2}{x+3} \le 0$.
    -   **Interval a ($x < -3$):** Pilih $x = -4$.
        $\frac{(-4)^2 - 6(-4) - 2}{-4+3} = \frac{16 + 24 - 2}{-1} = \frac{38}{-1} = -38$. Karena $-38 \le 0$, interval ini memenuhi.
    -   **Interval b ($-3 < x \le 3 - \sqrt{11}$):** Pilih $x = -1$ (karena $3 - \sqrt{11} \approx -0.317$).
        $\frac{(-1)^2 - 6(-1) - 2}{-1+3} = \frac{1 + 6 - 2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$. Karena $2.5 > 0$, interval ini tidak memenuhi.
    -   **Interval c ($3 - \sqrt{11} \le x \le 3 + \sqrt{11}$):** Pilih $x = 3$ (karena $3 - \sqrt{11} \approx -0.317$ dan $3 + \sqrt{11} \approx 6.317$).
        $\frac{(3)^2 - 6(3) - 2}{3+3} = \frac{9 - 18 - 2}{6} = \frac{-11}{6}$. Karena $-11/6 \le 0$, interval ini memenuhi.
    -   **Interval d ($x \ge 3 + \sqrt{11}$):** Pilih $x = 7$.
        $\frac{(7)^2 - 6(7) - 2}{7+3} = \frac{49 - 42 - 2}{10} = \frac{5}{10} = 0.5$. Karena $0.5 > 0$, interval ini tidak memenuhi.

4.  **Solusi:**
    Pertidaksamaan $\frac{x^2 - 6x - 2}{x+3} \le 0$ terpenuhi pada interval $x < -3$ dan $3 - \sqrt{11} \le x \le 3 + \sqrt{11}$.
    Jadi, penyelesaiannya adalah $x \in (-\infty, -3) \cup [3 - \sqrt{11}, 3 + \sqrt{11}]$.