Proyeksi vektor ortogonal vektor a=(2, x, 1) pada vektor

x = 4

Pembahasan

Diketahui:
vektor a = (2, x, 1)
vektor b = (3, -2, 1)
vektor proyeksi ortogonal a pada b, yaitu c = 1/14 (-3, 2, -1).

Rumus proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah:
proj_b a = ((a . b) / |b|^2) * b

dimana:
a . b adalah hasil perkalian titik vektor a dan b.
|b|^2 adalah kuadrat dari magnitudo vektor b.

Langkah 1: Hitung perkalian titik a . b.
a . b = (2 * 3) + (x * -2) + (1 * 1)
a . b = 6 - 2x + 1
a . b = 7 - 2x

Langkah 2: Hitung kuadrat magnitudo vektor b (|b|^2).
|b|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2
|b|^2 = 9 + 4 + 1
|b|^2 = 14

Langkah 3: Substitusikan hasil ke dalam rumus proyeksi.
proj_b a = ((7 - 2x) / 14) * (3, -2, 1)

Kita diberitahu bahwa proj_b a = c = 1/14 (-3, 2, -1).
Jadi, kita bisa menyamakan kedua ekspresi tersebut:
((7 - 2x) / 14) * (3, -2, 1) = 1/14 (-3, 2, -1)

Kita dapat membandingkan salah satu komponen vektornya. Mari kita gunakan komponen pertama:
(7 - 2x) / 14 * 3 = 1 / 14 * (-3)
(7 - 2x) * 3 = -3
21 - 6x = -3
-6x = -3 - 21
-6x = -24
x = -24 / -6
x = 4

Mari kita cek dengan komponen kedua:
(7 - 2x) / 14 * (-2) = 1 / 14 * 2
(7 - 2x) * (-2) = 2
-14 + 4x = 2
4x = 2 + 14
4x = 16
x = 16 / 4
x = 4

Dan dengan komponen ketiga:
(7 - 2x) / 14 * 1 = 1 / 14 * (-1)
(7 - 2x) = -1
-2x = -1 - 7
-2x = -8
x = -8 / -2
x = 4

Semua komponen memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai x adalah 4.