Rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 10 cm. Jika P adalah titik

Jarak garis CP dan EH adalah $2\sqrt{5}$ cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak antara garis CP dan EH, kita perlu memahami geometri kubus dan konsep jarak antara dua garis. Rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 10 cm. P adalah titik tengah DH, sehingga DP = PH = 5 cm.

Perhatikan bahwa garis EH sejajar dengan garis AB, FG, dan DC. Garis CP berada pada bidang CDFG. Jarak antara garis CP dan EH sama dengan jarak antara garis CP dan bidang EFGH (karena EH terletak pada bidang EFGH).

Cara termudah untuk mencari jarak ini adalah dengan melihat jarak dari titik C ke bidang EFGH, atau jarak dari titik P ke bidang ABCD. Namun, ini tidak langsung memberikan jarak antara dua garis bersilangan.

Mari kita gunakan proyeksi.
Misalkan kita tempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan D=(0,0,0), A=(10,0,0), C=(0,10,0), H=(0,0,10).
Karena P adalah titik tengah DH, maka P = (0,0,5).
Garis EH terletak pada garis yang melalui E=(10,0,10) dan H=(0,0,10). Vektor arah EH adalah H-E = (-10,0,0).
Persamaan garis EH bisa dinyatakan sebagai H + t(E-H) = (0,0,10) + t(10,0,0) = (10t, 0, 10).

Garis CP berada pada garis yang melalui C=(0,10,0) dan P=(0,0,5). Vektor arah CP adalah P-C = (0,-10,5).
Persamaan garis CP bisa dinyatakan sebagai C + s(P-C) = (0,10,0) + s(0,-10,5) = (0, 10-10s, 5s).

Kita mencari jarak antara dua garis ini. Karena EH sejajar dengan sumbu x dan CP memiliki komponen y dan z, kedua garis ini tidak sejajar maupun berpotongan (kecuali jika kita melihatnya dari perspektif yang salah).

Mari kita tinjau ulang. EH adalah rusuk kubus. CP adalah garis yang menghubungkan titik C dengan titik tengah rusuk DH.

Perhatikan bidang CDFG. C=(0,10,0), D=(0,0,0), F=(10,10,0), G=(10,0,0). P adalah titik tengah DH, D=(0,0,0), H=(0,0,10), jadi P=(0,0,5).
EH adalah rusuk kubus yang sejajar dengan sumbu x jika D adalah titik asal.

Jarak antara garis CP dan EH sama dengan jarak dari titik C ke garis yang sejajar dengan EH dan melalui P, atau jarak dari titik P ke garis yang sejajar dengan EH dan melalui C. Karena EH sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH, jarak antara CP dan EH adalah jarak tegak lurus antara CP dan bidang EFGH.

Ambil titik C=(0,10,0). Bidang EFGH memiliki persamaan z=10. Jarak dari C ke bidang EFGH adalah 10.
Ini tidak benar karena CP tidak tegak lurus dengan bidang EFGH.

Mari kita gunakan cara lain.
Jarak antara dua garis bersilangan (skew lines) $L_1$ dan $L_2$ adalah jarak antara dua bidang paralel yang mengandung masing-masing garis.

Garis EH terletak pada garis x-axis (jika kita atur D=(0,0,0), E=(10,0,0), H=(0,0,10)). Mari kita atur ulang koordinat agar lebih mudah.

Misalkan A=(0,0,0), B=(10,0,0), C=(10,10,0), D=(0,10,0).
E=(0,0,10), F=(10,0,10), G=(10,10,10), H=(0,10,10).
Rusuk = 10.
P adalah titik tengah DH. D=(0,10,0), H=(0,10,10). Maka P = (0, 10, 5).

Garis CP melalui C=(10,10,0) dan P=(0,10,5). Vektor arah CP = P-C = (-10, 0, 5).
Persamaan garis CP: (10,10,0) + t(-10,0,5) = (10-10t, 10, 5t).

Garis EH melalui E=(0,0,10) dan H=(0,10,10). Vektor arah EH = H-E = (0,10,0).
Persamaan garis EH: (0,0,10) + s(0,10,0) = (0, 10s, 10).

Kedua garis ini tidak sejajar (vektor arah berbeda) dan tidak berpotongan.

Rumus jarak antara dua garis skew: $d = |(P_2 - P_1) ollowingcdot (v_1 	imes v_2)| / |v_1 	imes v_2|$
Ambil P1 = C = (10,10,0) pada garis CP.
Ambil P2 = E = (0,0,10) pada garis EH.
$v_1$ = vektor arah CP = (-10, 0, 5).
$v_2$ = vektor arah EH = (0, 10, 0).

$P_2 - P_1 = (0-10, 0-10, 10-0) = (-10, -10, 10)$.

$v_1 	imes v_2 = egin{vmatrix} i & j & k \ -10 & 0 & 5 \ 0 & 10 & 0 \\\end{vmatrix} = i(0-50) - j(0-0) + k(-100-0) = -50i - 100k = (-50, 0, -100)$.

$|v_1 	imes v_2| = \sqrt{(-50)^2 + 0^2 + (-100)^2} = \sqrt{2500 + 10000} = \sqrt{12500} = \sqrt{2500 \times 5} = 50\sqrt{5}$.

$(P_2 - P_1) ollowingcdot (v_1 	imes v_2) = (-10, -10, 10) ollowingcdot (-50, 0, -100) = (-10)(-50) + (-10)(0) + (10)(-100) = 500 + 0 - 1000 = -500$.

$d = |-500| / (50\sqrt{5}) = 500 / (50\sqrt{5}) = 10 / \sqrt{5} = (10\sqrt{5}) / 5 = 2\sqrt{5}$.

Jawaban: Jarak garis CP dan EH adalah $2\sqrt{5}$ cm.