Sebuah bidang persegipanjang ABCD dengan AB=2 dan BC=4

a. Dengan menggunakan sifat segitiga samakaki dan trigonometri pada segitiga siku-siku yang terbentuk, kita dapat menurunkan rumus K.

Pembahasan

a. Untuk menunjukkan bahwa K = 4/cos θ + 4 - 2 tan θ, kita perlu menganalisis geometri bidang persegipanjang ABCD. 
Misalkan AB = 2 dan BC = 4. Titik E terletak pada AD dan titik F terletak pada BC. Segitiga ABE dan CDF adalah segitiga samakaki identik dengan sudut ABE = θ.
Karena segitiga ABE samakaki dengan sudut ABE = θ, maka AE = BE.
Menggunakan definisi trigonometri dalam segitiga ABE (dengan sudut siku-siku di A):
cos θ = AB / BE => BE = AB / cos θ = 2 / cos θ
Karena segitiga ABE samakaki, maka AE = BE = 2 / cos θ.

Karena segitiga CDF samakaki dengan sudut CDF = θ (karena AB sejajar CD dan AD sejajar BC, maka sudut BCD = 90 derajat, dan segitiga CDF juga memiliki sudut siku-siku di C), maka CF = DF.
Menggunakan definisi trigonometri dalam segitiga CDF (dengan sudut siku-siku di C):
cos θ = CD / DF => DF = CD / cos θ.
Karena ABCD adalah persegipanjang, maka CD = AB = 2. Jadi, DF = 2 / cos θ.
Karena segitiga CDF samakaki, maka CF = DF = 2 / cos θ.

Sekarang kita perlu mencari panjang EF. Titik E pada AD dan titik F pada BC. 
Karena ABCD adalah persegipanjang, AD = BC = 4.
AE = 2 / cos θ. Maka ED = AD - AE = 4 - 2 / cos θ.
CF = 2 / cos θ. Maka BF = BC - CF = 4 - 2 / cos θ.

Perhatikan segitiga EBF. Siku-siku di B. 
EB = 2 / cos θ.
BF = 4 - 2 / cos θ.
Dengan teorema Pythagoras pada segitiga EBF:
EF² = EB² + BF²
EF² = (2 / cos θ)² + (4 - 2 / cos θ)²
EF² = 4 / cos² θ + 16 - 16 / cos θ + 4 / cos² θ
EF² = 8 / cos² θ - 16 / cos θ + 16
EF = sqrt(8 / cos² θ - 16 / cos θ + 16)

Sekarang kita hitung K = AE + BE + CF + DF + EF:
K = (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + EF
K = 8 / cos θ + EF

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau interpretasi saya mengenai 'segitiga samakaki identik dengan sudut ABE=theta rad'. Jika ABE samakaki, maka sudut BAE = sudut BEA atau sudut ABE = sudut AEB. Jika sudut ABE = θ, dan ABE samakaki, maka ada dua kemungkinan:
1. AE = BE: Ini yang saya gunakan di atas.
2. AB = AE: Maka sudut ABE = sudut AEB. Jika sudut ABE = θ, maka sudut AEB = θ. Sudut BAE = 180 - 2θ. Ini tidak mungkin karena BAE adalah sudut dalam persegipanjang (90 derajat).
3. AB = BE: Maka sudut BAE = sudut AEB. Jika sudut ABE = θ, maka sudut BAE = sudut AEB = (180 - θ) / 2. Ini juga tidak mungkin karena BAE adalah 90 derajat.

Mari kita asumsikan bahwa segitiga ABE samakaki berarti AE = BE, dan segitiga CDF samakaki berarti CF = DF. Sudut yang diberikan adalah sudut ABE = θ. Ini menyiratkan bahwa titik E berada di AD.
Dalam segitiga siku-siku ABE, dengan sudut siku-siku di A:
cos(ABE) = AB / BE
cos(θ) = 2 / BE  => BE = 2 / cos(θ)
Karena segitiga ABE samakaki, AE = BE = 2 / cos(θ).

Dalam segitiga siku-siku CDF, dengan sudut siku-siku di C:
Misalkan sudut CDF = α. Karena segitiga CDF samakaki, CF = DF.
Sudut CDF = θ juga karena kesamaan segitiga dan sifat sejajar garis.
cos(CDF) = CD / DF
cos(θ) = 2 / DF => DF = 2 / cos(θ)
Karena segitiga CDF samakaki, CF = DF = 2 / cos(θ).

Sekarang kita cari EF. Titik E pada AD, titik F pada BC. 
AE = 2 / cos θ. Karena E pada AD, maka ED = AD - AE = 4 - 2 / cos θ.
CF = 2 / cos θ. Karena F pada BC, maka BF = BC - CF = 4 - 2 / cos θ.

Perhatikan segitiga siku-siku EBF (siku-siku di B).
EB = 2 / cos θ.
BF = 4 - 2 / cos θ.
EF² = EB² + BF² = (2 / cos θ)² + (4 - 2 / cos θ)²
EF² = 4 / cos² θ + 16 - 16 / cos θ + 4 / cos² θ
EF² = 8 / cos² θ - 16 / cos θ + 16

K = AE + BE + CF + DF + EF
K = (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + (2 / cos θ) + EF
K = 8 / cos θ + EF

Sepertinya ada kesalahan pada soal karena rumus yang diminta K=4/cos θ+4-2 tan θ. Mari kita coba interpretasi lain.

Jika ABE samakaki berarti AB=AE=2, dan sudut ABE=θ. Maka BE = sqrt(AB² + AE²) = sqrt(2² + 2²) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).
Ini tidak konsisten dengan AB=2 dan BC=4 sebagai sisi persegipanjang.

Mari kita kembali ke interpretasi awal: AE = BE dan CF = DF, dan sudut yang diberikan terkait dengan titik E pada AD dan F pada BC.
Misalkan E pada AD dan F pada BC. Sudut yang diberikan adalah sudut ABE = θ.
Dalam segitiga siku-siku ABE (siku-siku di A):
BE = AB / cos(θ) = 2 / cos(θ).
AE = AB * tan(θ) = 2 * tan(θ).

Karena segitiga CDF identik, maka sudut DCF = 90 derajat. Misalkan F pada BC. Maka CDF juga siku-siku di C.
Dan sudut CDF = θ.
DF = CD / cos(θ) = 2 / cos(θ).
CF = CD * tan(θ) = 2 * tan(θ).

K = AE + BE + CF + DF + EF
K = 2 tan θ + 2 / cos θ + 2 tan θ + 2 / cos θ + EF
K = 4 tan θ + 4 / cos θ + EF

Sekarang kita cari EF. E pada AD, F pada BC. 
AE = 2 tan θ. ED = AD - AE = 4 - 2 tan θ.
CF = 2 tan θ. BF = BC - CF = 4 - 2 tan θ.

Perhatikan segitiga siku-siku EBF (siku-siku di B).
EB = 2 / cos θ.
BF = 4 - 2 tan θ.
EF² = EB² + BF² = (2 / cos θ)² + (4 - 2 tan θ)²
EF² = 4 / cos² θ + 16 - 16 tan θ + 4 tan² θ

Ini masih belum cocok dengan rumus yang diminta. Mari kita coba lagi interpretasi soalnya.