Sebuah jajargenjang PQRS dengan P(3,4,2), Q(-1,5,0),

Sudut antara kedua diagonal jajargenjang tersebut adalah sekitar 32,26 derajat.

Pembahasan

Untuk menentukan sudut antara kedua diagonal jajargenjang PQRS dengan P(3,4,2), Q(-1,5,0), R(4,-2,6), dan S(a, b, c), kita perlu menentukan vektor-vektor yang mewakili kedua diagonal tersebut. Diagonal-diagonalnya adalah PR dan QS.

1. Tentukan vektor diagonal PR:
Vektor PR = R - P
PR = (4-3, -2-4, 6-2)
PR = (1, -6, 4)

2. Tentukan vektor diagonal QS:
Untuk mencari vektor QS, kita perlu koordinat titik S. Dalam jajargenjang, vektor PQ sama dengan vektor SR, dan vektor PS sama dengan vektor QR.

Kita bisa gunakan PQ = SR:
Q - P = R - S
(-1-3, 5-4, 0-2) = (4-a, -2-b, 6-c)
(-4, 1, -2) = (4-a, -2-b, 6-c)

Maka:
-4 = 4 - a  => a = 4 + 4 = 8
1 = -2 - b  => b = -2 - 1 = -3
-2 = 6 - c  => c = 6 + 2 = 8
Jadi, koordinat S adalah (8, -3, 8).

Sekarang kita bisa menentukan vektor QS:
Vektor QS = S - Q
QS = (8 - (-1), -3 - 5, 8 - 0)
QS = (8 + 1, -8, 8)
QS = (9, -8, 8)

3. Tentukan sudut antara vektor PR dan QS:
Kita gunakan rumus dot product (hasil kali titik):
PR · QS = |PR| |QS| cos 	eta

Hitung PR · QS:
PR · QS = (1)(9) + (-6)(-8) + (4)(8)
PR · QS = 9 + 48 + 32
PR · QS = 89

Hitung |PR| (panjang vektor PR):
|PR| = sqrt(1^2 + (-6)^2 + 4^2)
|PR| = sqrt(1 + 36 + 16)
|PR| = sqrt(53)

Hitung |QS| (panjang vektor QS):
|QS| = sqrt(9^2 + (-8)^2 + 8^2)
|QS| = sqrt(81 + 64 + 64)
|QS| = sqrt(209)

Sekarang, cari cos 	eta:
cos 	eta = (PR · QS) / (|PR| |QS|)
cos 	eta = 89 / (sqrt(53) * sqrt(209))
cos 	eta = 89 / sqrt(11077)

Untuk mencari sudut 	eta, kita gunakan arctan (atau arccos):
	eta = arccos(89 / sqrt(11077))

Menggunakan kalkulator:
sqrt(11077) ≈ 105.247
cos 	eta ≈ 89 / 105.247 ≈ 0.84564

	eta ≈ arccos(0.84564)
	eta ≈ 32.26 derajat

Perlu diperhatikan bahwa sudut antara dua vektor bisa lancip atau tumpul. Jika hasil dot product positif, sudutnya lancip. Jika negatif, sudutnya tumpul. Dalam kasus ini, hasilnya positif.

Jika kita ingin sudut yang lebih presisi, kita gunakan nilai eksak:
	eta = arccos(89 / sqrt(11077))