Sebuah kertas berbentuk persegi panjang A B C D dengan A

Panjang $B_1D$ adalah 56 cm.

Pembahasan

Untuk mencari panjang $B_1D$, kita perlu memahami konsep lipatan pada kertas berbentuk persegi panjang. Kertas ABCD dilipat mengikuti diagonal AC. Titik B akan berpindah ke posisi $B_1$.

Diketahui:
Panjang AB = 120 cm
Panjang BC = 160 cm

Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AB = CD = 120 cm dan BC = AD = 160 cm. Sudut B adalah sudut siku-siku (90 derajat).

Ketika dilipat mengikuti diagonal AC, segitiga ABC akan menempati posisi segitiga $A'B_1C$. Karena lipatan, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga $A'B_1C$. Ini berarti $AB = A'B_1 = 120$ cm, $BC = B_1C = 160$ cm, dan sudut $B$ (90 derajat) berpindah ke sudut $B_1$ (90 derajat).

Perhatikan segitiga ABD. Diagonal AC membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu segitiga ABC dan segitiga ADC.

Dalam segitiga ABC, kita dapat menghitung panjang diagonal AC menggunakan teorema Pythagoras:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 120^2 + 160^2$
$AC^2 = 14400 + 25600$
$AC^2 = 40000$
$AC = \sqrt{40000}$
$AC = 200$ cm

Setelah dilipat, bayangan titik B, yaitu $B_1$, akan berada sedemikian rupa sehingga $AB_1$ tegak lurus terhadap AD (garis AD adalah bagian dari AD yang tidak tertutup oleh lipatan segitiga ABC).

Ini adalah masalah geometri yang lebih kompleks. Mari kita gunakan pendekatan lain dengan koordinat atau sifat segitiga.

Misalkan kita tempatkan titik A di (0,0), B di (120,0), C di (120,160), dan D di (0,160).
Diagonal AC memiliki persamaan garis y = (160/120)x = (4/3)x.

Ketika dilipat, titik B(120,0) akan berpindah ke $B_1$. Garis $BB_1$ akan tegak lurus terhadap diagonal AC.

Panjang $B_1D$ dapat dicari. Perhatikan segitiga ABD. $AB = 120$, $AD = 160$, $BD = \sqrt{120^2 + 160^2} = 200$. Ini bukan diagonal BD, tapi diagonal AC sama dengan BD jika itu persegi. Namun, ini persegi panjang.

Perhatikan bahwa segitiga ABC dipetakan ke segitiga $AB_1C$. Titik $B_1$ berada di dalam persegi panjang ABCD. $AB_1 = AB = 120$. $CB_1 = CB = 160$. Sudut $AB_1C = 90^\circ$.

Dalam segitiga ABD, kita bisa mencari panjang proyeksi AB pada AD atau AB pada BD. Ini bukan cara yang tepat.

Mari kita fokus pada segitiga yang terbentuk setelah lipatan.
Titik $B_1$ adalah hasil lipatan titik B terhadap diagonal AC. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga $AB_1C$. Sehingga $AB = AB_1 = 120$ cm dan $BC = B_1C = 160$ cm. Sudut $\angle ABC = 90^\circ$ menjadi $\angle AB_1C = 90^\circ$.

Perhatikan segitiga $ABB_1$. $AB = AB_1 = 120$. Ini adalah segitiga sama kaki. Sudut $\angle BAC$ akan sama dengan $\angle B_1AC$. Misalkan $\angle BAC = \alpha$. Maka $\cos \alpha = AB/AC = 120/200 = 3/5$ dan $\sin \alpha = BC/AC = 160/200 = 4/5$.

Sudut $\angle BAD = 90^\circ$. Sudut $\angle B_1AD = \angle BAD - \angle BAB_1 = 90^\circ - 2\alpha$.

Sekarang kita cari panjang $B_1D$ menggunakan aturan kosinus pada segitiga $AB_1D$. Kita tahu $AB_1 = 120$, $AD = 160$, dan sudut $\angle B_1AD = 90^\circ - 2\alpha$.

$B_1D^2 = AB_1^2 + AD^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot AD \cdot \cos(90^\circ - 2\alpha)$
$B_1D^2 = 120^2 + 160^2 - 2 \cdot 120 \cdot 160 \cdot \sin(2\alpha)$
Kita tahu $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (4/5) \cdot (3/5) = 24/25$.

$B_1D^2 = 14400 + 25600 - 2 \cdot 120 \cdot 160 \cdot (24/25)$
$B_1D^2 = 40000 - 38400 \cdot (24/25)$
$B_1D^2 = 40000 - 1536 \cdot 24$
$B_1D^2 = 40000 - 36864$
$B_1D^2 = 3136$
$B_1D = \sqrt{3136}$
$B_1D = 56$ cm

Jadi, panjang $B_1D$ adalah 56 cm.