Sederhanakan! sin 105 cos 15 + cos 165 sin 15

Hasil penyederhanaan adalah (1 + sqrt(3))/4.

Pembahasan

Kita perlu menyederhanakan ekspresi: $\\sin 105^{\circ} \\cos 15^{\circ} + \\cos 165^{\circ} \\sin 15^{\circ}$.

Perhatikan bahwa kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk sinus: $\\sin(A + B) = \\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B$.

Namun, dalam ekspresi yang diberikan, kita memiliki $\\cos 165^{\circ}$. Kita bisa mengubahnya menggunakan sifat komplementer atau suplementer.
Kita tahu bahwa $\\cos(180^{\circ} - \\theta) = - \\cos \\theta$. Maka, $\\cos 165^{\circ} = \\cos(180^{\circ} - 15^{\circ}) = - \\cos 15^{\circ}$.

Substitusikan ini ke dalam ekspresi asli:
$E = \\sin 105^{\circ} \\cos 15^{\circ} + (-\\cos 15^{\circ}) \\sin 15^{\circ}$
$E = \\sin 105^{\circ} \\cos 15^{\circ} - \\cos 15^{\circ} \\sin 15^{\circ}$

Ini tidak langsung cocok dengan identitas $\\sin(A + B)$ atau $\\sin(A - B)$ karena kedua suku terakhir memiliki $\\cos 15^{\circ} \\sin 15^{\circ}$.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengubah $\\sin 105^{\circ}$ dan $\\cos 165^{\circ}$.

Kita tahu $\\sin(180^{\circ} - \\theta) = \\sin \\theta$. Jadi, $\\sin 105^{\circ} = \\sin(180^{\circ} - 75^{\circ}) = \\sin 75^{\circ}$.

Ekspresi menjadi: $\\sin 75^{\circ} \\cos 15^{\circ} + \\cos 165^{\circ} \\sin 15^{\circ}$.

Kita juga tahu $\\cos(90^{\circ} + \\theta) = - \\sin \\theta$. Jadi, $\\cos 165^{\circ} = \\cos(90^{\circ} + 75^{\circ}) = - \\sin 75^{\circ}$.

Substitusikan ini:
$E = \\sin 75^{\circ} \\cos 15^{\circ} + (-\\sin 75^{\circ}) \\sin 15^{\circ}$
$E = \\sin 75^{\circ} \\cos 15^{\circ} - \\sin 75^{\circ} \\sin 15^{\circ}$
$E = \\sin 75^{\circ} (\\cos 15^{\circ} - \\sin 15^{\circ})$

Ini juga tidak menyederhanakan dengan mudah.

Mari kita kembali ke bentuk asli dan gunakan identitas yang benar:
$E = \\sin 105^{\circ} \\cos 15^{\circ} + \\cos 165^{\circ} \\sin 15^{\circ}$.

Kita bisa menggunakan identitas $\\cos(180^{\circ} - \\theta) = - \\cos \\theta$, jadi $\\cos 165^{\circ} = - \\cos 15^{\circ}$.

Dan $\\sin(180^{\circ} - \\theta) = \\sin \\theta$, jadi $\\sin 105^{\circ} = \\sin(180^{\circ} - 75^{\circ}) = \\sin 75^{\circ}$.

Dan $\\cos(90^{\circ} + 	heta) = - 	ext{sin}(	heta)$, jadi $\\cos 165^{\circ} = 	ext{cos}(90^{\circ} + 75^{\circ}) = - 	ext{sin}(75^{\circ})$.

Dan $\\sin(90^{\circ} + 	heta) = 	ext{cos}(	heta)$, jadi $\\sin 105^{\circ} = 	ext{sin}(90^{\circ} + 15^{\circ}) = 	ext{cos}(15^{\circ})$.

Mari kita gunakan $\\sin 105^{\circ} = 	ext{cos}(15^{\circ})$ dan $\\cos 165^{\circ} = - 	ext{sin}(75^{\circ})$.

$E = (	ext{cos}(15^{\circ})) 	ext{cos}(15^{\circ}) + (-	ext{sin}(75^{\circ})) 	ext{sin}(15^{\circ})$
$E = 	ext{cos}^2(15^{\circ}) - 	ext{sin}(75^{\circ}) 	ext{sin}(15^{\circ})$
Karena $	ext{sin}(75^{\circ}) = 	ext{cos}(15^{\circ})$:
$E = 	ext{cos}^2(15^{\circ}) - 	ext{cos}(15^{\circ}) 	ext{sin}(15^{\circ})$
Ini masih rumit.

Mari kita gunakan identitas $\\sin(A - B) = \\sin A \\cos B - \\cos A \\sin B$.
Kita punya $\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + 	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.

Perhatikan $\\cos 165^{\circ} = 	ext{cos}(180^{\circ} - 15^{\circ}) = - 	ext{cos } 15^{\circ}$.
Jadi ekspresi menjadi:
$\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + (-	ext{cos } 15^{\circ}) 	ext{sin } 15^{\circ}$
$= 	ext{sin } 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$

Ini masih belum cocok dengan identitas penjumlahan atau pengurangan sudut.

Mari kita coba ubah sudutnya agar lebih mudah.
$\\sin 105^{\circ} = 	ext{sin}(60^{\circ} + 45^{\circ}) = 	ext{sin } 60^{\circ} 	ext{cos } 45^{\circ} + 	ext{cos } 60^{\circ} 	ext{sin } 45^{\circ}$
$= (\\sqrt{3}/2)(\\sqrt{2}/2) + (1/2)(\\sqrt{2}/2) = (\\sqrt{6} + \\sqrt{2})/4$

$\\cos 15^{\circ} = 	ext{cos}(45^{\circ} - 30^{\circ}) = 	ext{cos } 45^{\circ} 	ext{cos } 30^{\circ} + 	ext{sin } 45^{\circ} 	ext{sin } 30^{\circ}$
$= (\\sqrt{2}/2)(\\sqrt{3}/2) + (\\sqrt{2}/2)(1/2) = (\\sqrt{6} + \\sqrt{2})/4$

$\\cos 165^{\circ} = 	ext{cos}(120^{\circ} + 45^{\circ}) = 	ext{cos } 120^{\circ} 	ext{cos } 45^{\circ} - 	ext{sin } 120^{\circ} 	ext{sin } 45^{\circ}$
$= (-1/2)(\\sqrt{2}/2) - (\\sqrt{3}/2)(\\sqrt{2}/2) = (-\\sqrt{2} - 	ext{sqrt}(6))/4$

$\\sin 15^{\circ} = 	ext{sin}(45^{\circ} - 30^{\circ}) = 	ext{sin } 45^{\circ} 	ext{cos } 30^{\circ} - 	ext{cos } 45^{\circ} 	ext{sin } 30^{\circ}$
$= (\\sqrt{2}/2)(\\sqrt{3}/2) - (\\sqrt{2}/2)(1/2) = (\\sqrt{6} - 	ext{sqrt}(2))/4$

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi:
$E = 	ext{sin } 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + 	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$
$E = [(\\sqrt{6} + 	ext{sqrt}(2))/4] [(\\sqrt{6} + 	ext{sqrt}(2))/4] + [(-\\sqrt{2} - 	ext{sqrt}(6))/4] [(\\sqrt{6} - 	ext{sqrt}(2))/4]$
$E = [(\\sqrt{6} + 	ext{sqrt}(2))^2 / 16] + [-(\\sqrt{2} + 	ext{sqrt}(6))(\\sqrt{6} - 	ext{sqrt}(2)) / 16]$
$E = [(6 + 2 + 2	ext{sqrt}(12)) / 16] + [-(\\sqrt{12} - 2 + 6 - 	ext{sqrt}(12)) / 16]$
$E = [(8 + 4	ext{sqrt}(3)) / 16] + [-(4) / 16]$
$E = (8 + 4	ext{sqrt}(3) - 4) / 16$
$E = (4 + 4	ext{sqrt}(3)) / 16$
$E = (1 + 	ext{sqrt}(3)) / 4$

Ada cara yang lebih mudah menggunakan identitas:
$\\sin A 	ext{cos } B + 	ext{cos } A 	ext{sin } B = 	ext{sin}(A + B)$
$\\sin A 	ext{cos } B - 	ext{cos } A 	ext{sin } B = 	ext{sin}(A - B)$

Kita punya $\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + 	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.
Ubah $	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(180^{\circ} - 15^{\circ}) = - 	ext{cos } 15^{\circ}$.
Ekspresi menjadi $\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.

Jika kita gunakan $	ext{sin } 105^{\circ} = 	ext{sin}(90^{\circ} + 15^{\circ}) = 	ext{cos } 15^{\circ}$.
Dan $	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(90^{\circ} + 75^{\circ}) = - 	ext{sin } 75^{\circ}$.

Ekspresi menjadi $	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + (-	ext{sin } 75^{\circ}) 	ext{sin } 15^{\circ}$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 	ext{sin } 75^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$
Karena $	ext{sin } 75^{\circ} = 	ext{cos } 15^{\circ}$.
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$

Coba gunakan identitas lain:
$\\sin(A+B) = 	ext{sin } A 	ext{cos } B + 	ext{cos } A 	ext{sin } B$.
Kita perlu membuat $	ext{cos } 165^{\circ}$ menjadi bentuk $	ext{cos } A$. 
$	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(180^{\circ} - 15^{\circ}) = - 	ext{cos } 15^{\circ}$.

Jadi ekspresi adalah $\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + (-	ext{cos } 15^{\circ}) 	ext{sin } 15^{\circ}$
$= 	ext{sin } 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$

Ini tidak cocok. Mari kita periksa soalnya.

Sederhanakan! $\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + 	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$

Kita bisa menggunakan identitas $2 	ext{sin A cos B} = 	ext{sin}(A+B) + 	ext{sin}(A-B)$ dan $2 	ext{cos A sin B} = 	ext{sin}(A+B) - 	ext{sin}(A-B)$.

$\\sin 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} = (1/2) [	ext{sin}(105+15) + 	ext{sin}(105-15)]$
$= (1/2) [	ext{sin}(120) + 	ext{sin}(90)]$
$= (1/2) [(\\sqrt{3}/2) + 1] = (\\sqrt{3}/4) + 1/2$

$	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ} = (1/2) [	ext{sin}(165+15) - 	ext{sin}(165-15)]$
$= (1/2) [	ext{sin}(180) - 	ext{sin}(150)]$
$= (1/2) [0 - 1/2] = -1/4$

Jumlahkan kedua hasil:
$E = (\\sqrt{3}/4) + 1/2 + (-1/4)$
$E = (\\sqrt{3}/4) + 2/4 - 1/4$
$E = (\\sqrt{3} + 1) / 4$

Ini adalah hasil yang sama dengan perhitungan sebelumnya.

Namun, mari kita periksa apakah ada identitas yang lebih langsung.
$\\sin(A+B) = 	ext{sin A cos B} + 	ext{cos A sin B}$
$\\sin(A-B) = 	ext{sin A cos B} - 	ext{cos A sin B}$

Kita punya $	ext{sin } 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + 	ext{cos } 165^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.
Jika $	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(90^{\circ} + 75^{\circ}) = - 	ext{sin } 75^{\circ}$.
Dan $	ext{sin } 105^{\circ} = 	ext{sin}(90^{\circ} + 15^{\circ}) = 	ext{cos } 15^{\circ}$.

Ekspresi menjadi:
$	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + (-	ext{sin } 75^{\circ}) 	ext{sin } 15^{\circ}$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 	ext{sin } 75^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$
Karena $	ext{sin } 75^{\circ} = 	ext{cos } 15^{\circ}$.
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.

Jika kita ubah $	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(180^{\circ} - 15^{\circ}) = - 	ext{cos } 15^{\circ}$.
Ekspresi menjadi $	ext{sin } 105^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} - 	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{sin } 15^{\circ}$.
Ini masih belum cocok.

Mari kita lihat $	ext{sin } 105^{\circ} = 	ext{sin}(60^{\circ} + 45^{\circ}) = 	ext{sin } 60^{\circ} 	ext{cos } 45^{\circ} + 	ext{cos } 60^{\circ} 	ext{sin } 45^{\circ}$.
$	ext{cos } 165^{\circ} = 	ext{cos}(120^{\circ} + 45^{\circ}) = 	ext{cos } 120^{\circ} 	ext{cos } 45^{\circ} - 	ext{sin } 120^{\circ} 	ext{sin } 45^{\circ}$.

Ada identitas $	ext{sin A cos B} + 	ext{cos A sin B} = 	ext{sin}(A+B)$.
Kita perlu $	ext{cos } 165^{\circ}$ menjadi $	ext{cos A}$.
Jika kita anggap $A=165^{\circ}$ dan $B=15^{\circ}$.
Maka kita punya $	ext{cos A sin B}$.
Kita perlu suku $	ext{sin A cos B}$.

Perhatikan bahwa $	ext{sin } 105^{\circ} = 	ext{cos } 15^{\circ}$.
Dan $	ext{cos } 165^{\circ} = - 	ext{sin } 75^{\circ}$.
Dan $	ext{sin } 15^{\circ} = 	ext{cos } 75^{\circ}$.

Ekspresi menjadi: $	ext{cos } 15^{\circ} 	ext{cos } 15^{\circ} + (-	ext{sin } 75^{\circ}) 	ext{cos } 75^{\circ}$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 	ext{sin } 75^{\circ} 	ext{cos } 75^{\circ}$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - (1/2) 	ext{sin}(2 	imes 75^{\circ})$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - (1/2) 	ext{sin}(150^{\circ})$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - (1/2) (1/2)$
$= 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 1/4$

Kita tahu $	ext{cos } 30^{\circ} = 2 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 1$.
$	ext{cos } 30^{\circ} = 	ext{sqrt}(3)/2$.
$	ext{sqrt}(3)/2 = 2 	ext{cos}^2 15^{\circ} - 1$
$2 	ext{cos}^2 15^{\circ} = 1 + 	ext{sqrt}(3)/2 = (2 + 	ext{sqrt}(3))/2$
$	ext{cos}^2 15^{\circ} = (2 + 	ext{sqrt}(3))/4$

Substitusikan kembali:
$E = (2 + 	ext{sqrt}(3))/4 - 1/4$
$E = (2 + 	ext{sqrt}(3) - 1)/4$
$E = (1 + 	ext{sqrt}(3))/4$

Ini adalah jawaban yang benar. Cara paling mudah adalah menggunakan identitas perkalian ke penjumlahan.

Jawaban: $\\frac{1 + 	ext{sqrt}(3)}{4}$