Sederhanakanlah!cos a/(csc (a-90)) + sin a/(sec (-a+90)) -

\(-2\cos^2 a\)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \(\\frac{\cos a}{\csc (a-90^{\circ})}} + \frac{\sin a}{\sec (-a+90^{\circ})}} - 1\), kita perlu menggunakan identitas trigonometri.

1. Identitas:
   - \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)
   - \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\)
   - \(\sin (x-90^{\circ}) = -\cos x\)
   - \(\cos (x-90^{\circ}) = \sin x\)
   - \(\sin (-x) = -\sin x\)
   - \(\cos (-x) = \cos x\)
   - \(\sin (90^{\circ}-x) = \cos x\)
   - \(\cos (90^{\circ}-x) = \sin x\)

2. Terapkan identitas:
   - \(\csc (a-90^{\circ}) = \frac{1}{\sin (a-90^{\circ})} = \frac{1}{-\cos a}\)
   - \(\sec (-a+90^{\circ}) = \sec (90^{\circ}-a) = \frac{1}{\cos (90^{\circ}-a)} = \frac{1}{\sin a}\)

3. Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:
   - \(\frac{\cos a}{1/(-\cos a)}} + \frac{\sin a}{1/(\sin a)}} - 1\)
   - \(\frac{\cos a}{1} \times (-\cos a) + \frac{\sin a}{1} \times \sin a - 1\)
   - \(-\cos^2 a + \sin^2 a - 1\)

4. Gunakan identitas \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\):
   - \(-\cos^2 a + (1 - \cos^2 a) - 1\)
   - \(-\cos^2 a + 1 - \cos^2 a - 1\)
   - \(-2\cos^2 a\)

   Atau, dari \(-\cos^2 a + \sin^2 a - 1\):
   - \((\sin^2 a - \cos^2 a) - 1\)
   - Menggunakan identitas \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\) atau \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\) atau \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a\).
   - Kita dapat menulis ulang \(-\cos^2 a + \sin^2 a - 1\) sebagai \(-(\cos^2 a - \sin^2 a) - 1\) = \(-\cos(2a) - 1\).

   Mari kita periksa kembali langkah sebelumnya:
   - \(-\cos^2 a + \sin^2 a - 1\)
   - \(-\cos^2 a + (1 - \cos^2 a) - 1\)
   - \(-\cos^2 a + 1 - \cos^2 a - 1\)
   - \(-2\cos^2 a\)  Ini benar.

   Alternatif lain:
   - \(\sin^2 a - \cos^2 a - 1\)
   - \(-( \cos^2 a - \sin^2 a )) - 1\)
   - \(-\cos(2a) - 1\)

   Kedua hasil \(-2\cos^2 a\) dan \(-\cos(2a) - 1\) adalah benar karena \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\), sehingga \(-2\cos^2 a = -(\cos(2a) + 1)\). Namun, bentuk \(-2\cos^2 a\) lebih sederhana.

Jawaban Sederhana:
\(-2\cos^2 a\)