Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit dibawah ini: limit

2

Pembahasan

Untuk menyederhanakan dan menyelesaikan limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 2x \cos 2x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Pertama, kita gunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk kosinus: $\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$.
Dalam kasus ini, A=3x dan B=x, sehingga:
$\cos 3x - \cos x = -2 \sin \left(\frac{3x+x}{2}\right) \sin \left(\frac{3x-x}{2}\right) = -2 \sin(2x) \sin(x)$

Selanjutnya, kita gunakan identitas sudut ganda untuk sinus: $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$. Jadi, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{\sin 2x \cos 2x}$
Kita bisa membatalkan $\sin 2x$ (karena $x \to \frac{\pi}{2}$, $\sin 2x \neq 0$):
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2 \sin(x)}{\cos 2x}$

Sekarang, kita substitusikan $x = \frac{\pi}{2}$:
$\frac{-2 \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos (2 \cdot \frac{\pi}{2})} = \frac{-2 \cdot 1}{\cos(\pi)} = \frac{-2}{-1} = 2$

Jadi, hasil limitnya adalah 2.